Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»
Contenido eliminado Contenido añadido
→Subgrupos normales: Modifico la presentación de los teoremas 1.32 y 1.33, además de agregar el segundo teorema de isomorfía |
Agrego el tercer teorema de isomorfía y su demostración |
||
Línea 106:
Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si <math>bN=aN\,\!</math>, entonces <math>a^{-1}b\in N</math>, y como <math>N\subseteq\ker f</math>, también <math>a^{-1}b\in\ker f</math>, luego <math>f(a)=f(b)</math>. Es fácil ver que <math>\bar f</math> es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por <math>f</math>, es el único homomorfismo que cumple <math>\bar f\circ\varphi=f</math>. (1) es evidente. (2) <math>\ker\bar f=\{aN\mid f(a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f\}=(\ker f)/N</math>. <math>\bar f</math> es un monomorfismo si y sólo si <math>\ker\bar f=(\ker f)/N</math> es el subgrupo trivial de <math>(G/N)</math>, es decir, si y sólo si <math>\ker f=N</math>.}}
Línea 127:
es un epimorfismo, y como <math>\ker f=\{h\in H\mid Nh=N\}=\{h\in H\mid h\in N\}=H\cap N</math>, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo <math>\bar f:H/H\cap N\longrightarrow (NH/N)</math>.}}
<font size=3>'''Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía):'''</font> Si <math>N</math> y <math>H</math> son dos subgrupos normales en un grupo <math>G</math>, con <math>N\leq H</math>, entonces <math>(G/H)\cong (G/N)/(H/N)</math>.
{{Proof|1=Sea <math>\varphi: G\longrightarrow (G/H)</math> la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, <math>\ker\varphi=H</math>, luego <math>N\leq\ker\varphi</math>, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo <math>\bar\varphi:(G/N)\longrightarrow (G/H)</math>, pero <math>aN\in\ker\bar\varphi</math> sy y sólo si <math>aN=H\,!</math>, lo cual sucede si y sólo si <math>a\in H</math>, luego <math>\ker\bar\varphi=(H/N)</math>, así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre <math>(G/N)/(H/N)</math> y <math>(G/H)</math>.}}
| |||