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<font size=3>'''Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos):'''</font> ''Sea <math>f:G\longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math> tal que <math>N\in\ker f</math>. Entonces existe un único homomorfismo <math>\bar f:(G/N)\longrightarrow H</math> tal que <math>\bar f\circ\varphi=f</math>, donde <math>\varphi:G\longrightarrow (G/N)</math> es la proyección canónica. Además, <math>\bar f</math> es un epimorfismo si y sólo si <math>f</math> lo es.'':
:(1) <math>\bar f</math> es un epimorfismo si y sólo si <math>f\,!</math> lo es;
{{Eqn|:(2) <math>\ker\bar f= \{aN\mid f( a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f \}.)/N</math> }}▼:(3) <math>\bar f</math> es un monomorfismo si y sólo si <math>\ker f=N\,\!</math>
{{Proof|1=SeaVamos a demostrar que el homomorfismo <math>\bar f:(G/N)\longrightarrow H</math> es la aplicación dada por
{{Eqn|<math>\bar f(aH)=f(a).</math>}}
EstaPrimeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si <math>bN=aN\,\!</math>, entonces <math>a^{-1}b\in N</math>, y como <math>N\subseteq\ker f</math>, también <math>a^{-1}b\in\ker f</math>, luego <math>f(a)=f(b)</math>. Es fácil ver que <math>\bar f</math> es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por <math>f</math>, es el único homomorfismo que cumple <math>\bar f\circ\varphi=f</math>. La(1) últimaes afirmaciónevidente. del(2) teorema<math>\ker\bar esf=\{aN\mid obvia.f(a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f\}=(\ker f)/N</math>. <math>\bar f</math> es un monomorfismo si y sólo si <math>\ker\bar f=(\ker f)/N</math> es el subgrupo trivial de <math>(G/N)</math>, es decir, si y sólo si <math>\ker f=N</math>.
Una<font forma equivalente desize=3>'''Teorema enunciar1.33 el(Primer teorema anteriorde esisomorfía):'''</font> diciendo que, siendoSi <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo de grupos, yentonces <math>N\trianglelefteq (G</math>, con <math>N\subseteq\ker f</math>, existe un único homomorfismo <math>)\cong\mbox{Im}\bar f</math> que da lugar al diagrama conmutativo .
<center>[[Imagen:Teo_Fund_Homo_Diag.svg|135px]]</center>
{{Proof|1=El teorema anterior nos da un homomorfismo <math>\bar f</math> entre <math>(G/\ker f)</math> y <math>H</math>, que se convierte en epimorfismo si en lugar de <math>H</math> tomamos simplemente <math>\mbox{Im} f\subseteq H</math>, pero por (3) del teorema anterior <math>\bar f</math> es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.}}
Es claro que <math>\mbox{Im}\ f=\mbox{Im}\ \bar f</math>. Además, <math>\ker\bar f=(\ker f)/N</math>, pues
<font size=3>'''Teorema 1. 3334 ( PrimerSegundo teorema de isomorfía):'''</font> Si <math> f:N</math> es un subgrupo normal de un grupo <math>G \longrightarrow</math> y <math>H</math> es un homomorfismosubgrupo cualquiera de grupos<math>G</math>, entonces <math> (GH\cap N</ math> es normal en <math>H</math> y <math>H/H\ kercap f)N\cong \mbox{Im}\ f(NH/N)</math>. ▼▲{{Eqn|<math>\ker\bar f=\{aN\mid f(a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f\}.</math>}}
Además, <math>\ker f=N</math> si y sólo si <math>(\ker f)/N=\ker\bar f</math> es el subgrupo trivial de <math>(G/N)</math>, i.e si y sólo si <math>\bar f</math> es un monomorfismo.
{{Proof|1=La aplicación
El siguiente teorema se sigue inmediatamente
<center><math>\begin{array}{rcl}
f:H & \longrightarrow & (NH/N)\\
▲<font size=3>'''Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía):'''</font> Si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo de grupos, entonces <math>(G/\ker f)\cong\mbox{Im}\ f</math>.
h & \mapsto & Nh
\end{array}</math></center>
es un epimorfismo, y como <math>\ker f=\{h\in H\mid Nh=N\}=\{h\in H\mid h\in N\}=H\cap N</math>, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo <math>\bar f:H/H\cap N\longrightarrow (NH/N)</math>.}}
{{Proof|1=Si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo, existe un homomorfismo <math>\bar f:(G/\ker f)\longrightarrow\mbox{Im f}</math>, que a su vez es un epimorfismo y un monomorfismo, luego es también un isomorfismo.}}
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