Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»
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Línea 93:
<font size=3>'''Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos):'''</font> ''Sea <math>f:G\longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math> tal que <math>N\in\ker f</math>. Entonces existe un único homomorfismo <math>\bar f:(G/N)\longrightarrow H</math> tal que <math>\bar f\circ\varphi=f</math>, donde <math>\varphi:G\longrightarrow (G/N)</math> es la proyección canónica. Además, <math>\bar f</math> es un epimorfismo si y sólo si <math>f</math> lo es.''
Línea 101:
Esta aplicación está bien definida, pues si <math>bN=aN\,\!</math>, entonces <math>a^{-1}b\in N</math>, y como <math>N\subseteq\ker f</math>, también <math>a^{-1}b\in\ker f</math>, luego <math>f(a)=f(b)</math>. Es fácil ver que <math>\bar f</math> es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por <math>f</math>, es el único homomorfismo que cumple <math>\bar f\circ\varphi=f</math>. La última afirmación del teorema es obvia.}}
Línea 107:
<center>[[Imagen:Teo_Fund_Homo_Diag.svg|135px]]</center>
Es claro que <math>\mbox{Im}\ f=\mbox{Im}\ \bar f</math>. Además, <math>\ker\bar f=(\ker f)/N</math>, pues
{{Eqn|<math>\ker\bar f=\{aN\mid f(a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f\}.</math>}}
Además, <math>\ker f=N</math> si y sólo si <math>(\ker f)/N=\ker\bar f</math> es el subgrupo trivial de <math>(G/N)</math>, i.e si y sólo si <math>\bar f</math> es un monomorfismo.
El siguiente teorema se sigue inmediatamente
<font size=3>'''Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía):'''</font> Si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo de grupos, entonces <math>(G/\ker f)\cong\mbox{Im}\ f</math>.
{{Demostración: Si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo, existe un homomorfismo <math>\bar f:(G/\ker f)\longrightarrow\mbox{Im f}</math>, que a su vez es un epimorfismo y un monomorfismo, luego es también un isomorfismo.}}
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