Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»
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Línea 54:
{{Eqn|<math>\begin{array}{rcl}
\
a & \mapsto & aN
\end{array}</math>}}
es claramente un epimorfismo, y es llamado '''proyección canónica'''. Puesto que <math>a\in N</math> si y sólo si <math>aN=N\,\!</math>, i.e. si y sólo si <math>a\in\ker\phi</math>, tenemos que <math>N=\ker\
Línea 88:
# <math>C_H\subseteq N_H</math>;
# <math>C_G=G\,\!</math> equivale a decir que <math>G</math> es abeliano.
Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.
<font size=3>'''Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos):'''</font> ''Sea <math>f:G\longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math> tal que <math>N\in\ker f</math>. Entonces existe un único homomorfismo <math>\bar f:(G/N)\longrightarrow H</math> tal que <math>\bar f\circ\phi=f</math>, donde <math>\varphi:G\longrightarrow (G/N)</math> es la proyección canónica.''
{{Proof|1=Sea <math>\bar f:(G/N)\longrightarrow H</math> la aplicación dada por
{{Eqn|<math>\bar f(aH)=f(a).</math>}}
Esta aplicación está bien definida, pues si <math>bN=aN\,\!</math>, entonces <math>a^{-1}b\in N</math>, y como <math>N\subseteq\ker f</math>, también <math>a^{-1}b\in\ker f</math>, luego <math>f(a)=f(b)</math>. Es fácil ver que <math>\bar f</math> es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por <math>f</math>, es el único homomorfismo que cumple <math>\bar f\circ\varphi=f</math>.}}
Una forma equivalente de enunciar el teorema anterior es diciendo que, siendo <math>f:G\longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y <math>N\trianglelefteq G</math>, con <math>N\subseteq\ker f</math>, existe un único homomorfismo <math>\bar f</math> que da lugar al diagrama conmutativo «Pendiente»
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