Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
|||
Línea 31:
con <math>a^{-1}a=n_1\in N</math> y <math>b^{-1}b\in N</math> (pues <math>a'\in aN</math> y <math>b'\in bN</math>), así es que <math>(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}n_1bn_2</math>, pero como <math>N\trianglelefteq G</math>, también <math>b^{-1}n_1b=n_3\in N</math>, luego <math>(ab)^{-1}a'b'=n_3n_2\in N</math>, y entonces <math>ab\equiv a'b'\ (\mbox{mod}\
Línea 56 ⟶ 57:
es claramente un epimorfismo, y es llamado '''proyección canónica'''. Puesto que <math>a\in N</math> si y sólo si <math>aN=N\,\!</math>, i.e. si y sólo si <math>a\in\ker\phi</math>, tenemos que <math>N=\ker\phi\,\!</math>.}}
Sea <math>G</math> un grupo y <math>S\subseteq G</math>, y defínanse los conjuntos
{{Eqn|<math>aS=\{as\mid s\in S\}\qquad\mbox{y}\qquad Sa=\{sa\mid s\in S\}.</math>}}
Llamaremos '''normalizador''' de <math>S</math> al conjunto
{{Eqn|<math>N_s=\{a\in G\mid aS=Sa\}</math>}}
Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si <math>a,b\in N_s</math> (i.e. si <math>aS=Sa</math> y <math>bS=Sb</math>) entonces también <math>ab\in N_s</math>, y que además <math>1\in N_s</math> y <math>a^{-1}\in N_s</math>.
Si <math>H</math> es un subgrupo de <math>G</math>, entonces claramente <math>H\trianglelefteq N_H</math>. Más aún, <math>N_H</math> es el mayor subgrupo de <math>G</math> en el cual <math>H</math> es normal. En otras palabras,
{{Eqn|<math>H\leq K\leq G\ \ \mbox{y}\ \ H\trianglelefteq K\qquad\mbox{implica}\qquad K\subseteq N_H.</math>}}
Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si <math>G</math> es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto <math>S</math> de <math>G</math>. A este conjunto se le llama '''centralizador''' de <math>S</math>, y lo denotaremos por <math>C_S</math>. Así pues,
{{Eqn|<math>C_S=\{a\in G\mid as=sa\ \ \mbox{para todo}\ \ s\in S\}.</math>}}
Notar que
# <math>C_H\subseteq N_H</math>;
# <math>C_G=G</math> equivale a decir que <math>G</math> es abeliano.
| |||