Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»

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==Subgrupos normales==
 
Si <math>G</math> es un grupo y <math>H</math> es un subgrupo de <math>G</math>, no es cierto en general que <math>aH=Ha</math>, aunque claramente esto sí sucede cuando <math>G</math> es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo <math>G</math> que cumplen esto mismo sin necesidad de que <math>G</math> sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.
 
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luego <math>ana^{-1}\in\ker f</math>, así que <math>a(\ker f)a^{-1}\subseteq\ker f</math> para todo <math>a</math> de <math>G</math>, luego tambiénpodemos cambiar <math>a</math> por <math>a^{-1}</math> y así tener que <math>~a^{-1}(\ker f)a=\subseteq \ker f</math>, y asíluego para todo <math>n</math> de <math>\ker f</math> se tiene
 
{{Eqn|<math>~n=a(a^{-1}na)a^{-1}\in a(\ker f)a^{-1},</math>}}
 
 
lo que demuestra que <math>~a(\ker f)a^{-1}=\ker f</math>, ycompletando asíla prueba de que <math>\ker f\trianglelefteq G</math>.
 
 
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{{Proof|1=La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si <math>N</math> es un subgrupo normal de <math>G</math>, la aplicación <math>\phi:G\longrightarrow (G/N)</math> dada por
 
{{Eqn|<math>\phi(a)=aN\,\!</math>}}
 
 
es claramente un epimorfismo, y es llamado '''proyección canónica'''. Puesto que <math>a\in N</math> si y sólo si <math>aN=N\,\!</math>, i.e. si y sólo si <math>a\in\ker\phi</math>, tenemos que <math>N=\ker\phi\,\!</math>.}}