Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»

{{Proof|1=Para comenzar, debemos probar que la operación en <math>(G/N)</math> dada por <math>aNbN=abN.</math> tiene sentido, es decir, que si <math>a'\in aN</math> y <math>b'\in N</math>, entonces <math>abN=a'b'N</math>. TenemosEsto quees así, pues

con <math>a^{-1}a=n_1\in N</math>, y <math>b^{-1}b\in N</math> (pues <math>a'\in aN</math> y <math>b'\in bN</math>), así es que <math>(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}n_1bn_2</math>, pero como <math>N\trianglelefteq G</math>, también <math>b^{-1}n_1b=n_3\in N</math>, luego <math>(ab)^{-1}a'b'=n_3n_2\in N</math>, y entonces <math>ab\equiv a'b'\ (\mbox{mod}\ m)</math>, lo que prueba que <math>abN=a'b'N</math>. Hemos probado que la operación definida en <math>(G/N)</math> tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de <math>(G/N)</math> es <math>N</math>, y el inverso de todo <math>aN</math> de <math>(G/N)</math> es <math>a^{-1}N</math>. Con esto queda probado que <math>(G/N)</math> es un grupo.}}