Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Clases laterales»
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==Clases laterales==
Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.
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<font size=3>'''Definición 1:'''</font> Sea <math>G</math> un grupo y <math>H</math> un subgrupo de <math>G</math>. Diremos que dos elementos <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math> son '''congruentes por la izquierda''' módulo <math>H</math> si <math>a^{-1}b\in H</math>. Este hecho lo representaremos por <math>a\equiv_i\ b\ (\mbox{mod}\ H)</math>. Similarmente, <math>a</math> y <math>b</math> serán '''congruentes por la derecha''' si <math>ab^{-1}\in H</math>, y lo denotaremos por <math>a\equiv_d\ b\ (\mbox{mod}\ H)</math>.
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{{Eqn|<math>Ha=\{ha\mid h\in H\}</math>.}}
Llamaremos clase '''lateral izquierda''' de <math>a</math> y '''clase lateral derecha''' de <math>a</math> según el subgrupo <math>H</math> a los conjuntos <math>aH</math> y <math>Ha</math>, respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales <math>aH</math> (con <math>a\in G</math>) lo representaremos por <math>\left(G/H\right)_i</math>, mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales <math>Ha</math> lo representaremos por <math>\left(G/H\right)_d</math>
Tanto <math>aH</math> como <math>Ha</math> tienen cardinal igual a <math>|H|</math>, pues, por ejemplo, la aplicación <math>f:aH\longrightarrow H</math> dada por
{{Eqn|<math>f(ah)=h</math>}}
es claramente biyectiva, luego <math>|aH|=|H|</math>. Más aún, también es cierto que
{{Eqn|<math>\left|(G/H)_i\right|=\left|(G/H)_d\right|,</math>}}
La prueba de esto es que la aplicación <math>f:(G/H)_i\longrightarrow (G/H)_d</math> dada por
{{Eqn|<math>f(aH)=Ha^{-1}</math>}}
está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.
<font size=3>'''Definición 2:'''</font> Sea <math>G</math> un grupo y <math>H</math> un subgrupo de <math>G</math>. Llamaremos '''índice''' de <math>H</math> en <math>G</math> al cardinal <math>\left|(G/H)_i\right|=\left|(G/H)_d\right|</math>. Lo representaremos por
{{Eqn|<math>[G:H]\,\!</math>}}
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