Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos»
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<font size=3><font size=3>'''Definición 1.14:'''</font></font> Sea <math>G</math> un grupo. Se dice que <math>H</math> es un '''subgrupo''' de <math>G</math>, hecho que se representa por <math>H\leq G</math>, si <math>H\subseteq G</math> y si <math>H</math> es él mismo un grupo respecto de la operación de <math>G</math>.
Es claro que la identidad de <math>H</math> es la misma que la identidad de <math>G</math>, pues éste es el único elemento <math>a</math> de <math>G</math> que cumple <math>aa=a</math>. También los inversos de los elementos de <math>H</math> son los mismos en <math>H</math> que en <math>G</math>.
Todo grupo <math>G</math> tiene al menos dos subgrupos, a saber, <math>G</math> mismo y el grupo <math>\{1\}</math>, llamado subgrupo '''trivial''' de <math>G</math>, que sólo contiene a la identidad de <math>G</math>. Cualquier otro subgrupo de <math>G</math> disitinto de <math>G</math> y <math>\{1\}</math> se dice subgupo '''propio''' de <math>G</math>.
Es fácil ver que si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo de grupos entonces <math>\ker f</math> es un subgrupo de <math>G</math>.▼
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He aquí dos hechos básicos a cerca de subgrupos:▼
{{Eqn|<math>f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=1_H\cdot1_H^{-1}=1_H,</math>}}
por lo que <math>ab^{-1}\in\ker f</math>, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que <math>\ker f\leq G</math>.
▲He aquí otros dos hechos, aún más básicos, a cerca de subgrupos:
# Si <math>K\leq H</math> y <math>H\leq G</math>, entonces <math>K\leq G</math>.
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