Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Homomorfismos»
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Línea 30:
donde <math>1_H</math> es la identidad de <math>H</math>.
Notar que si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento <math>a</math> de <math>G</math> tal que <math>f(a)=1_H</math>, y por el teorema 1.11, ese elemento es <math>1_G</math>, de modo que <math>\ker f=\{1_G\}</math>. Recíprocamente, si <math>\ker f=\{1_G\}</math> y <math>f(a)=f(b)</math>, entonces <math>1_H=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})</math>, lo que implica <math>ab^{-1}\in\ker f</math>, luego <math>ab^{-1}=1_G</math> y así <math>a=b</math>, por lo que <math>f</math> es inyectiva y con ello un monomorfismo.▼
'''<font size=3>Teorema 1.13:</font>''' ''Sean <math>G</math> y <math>H</math> dos grupos cualesquiera. La aplicación <math>f:G\longrightarrow H</math> es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y <math>~\ker f=1</math>.''
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El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo <math>f</math> entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso <math>f</math> es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).
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