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Línea 1: ==Subgrupos== <font size=3><font size=3>'''Definición 1.1113:'''</font></font> Sea <math>G</math> un grupo. Se dice que <math>H</math> es un '''subgrupo''' de <math>G</math>, hecho que se representa por <math>H\leq G</math>, si <math>H\subseteq G</math> y si <math>H</math> es él mismo un grupo respecto de la operación de <math>G</math>. Es claro que la identidad de <math>H</math> es la misma que la identidad de <math>G</math>, pues éste es el único elemento <math>a</math> de <math>G</math> que cumple <math>aa=a</math>. También los inversos de los elementos de <math>H</math> son los mismos en <math>H</math> que en <math>G</math>. Línea 10: <font size=3>'''Teorema 1.1214:'''</font> Sea <math>G</math> un grupo y <math>H\subseteq G</math> con <math>H</math> no vacío. Entonces <math>H\leq G</math> si y sólo si <math>gh^{-1}\in H</math> para cualesquiera <math>g</math> y <math>h</math> de <math>H</math>. '''Demostración:''' La implicación es obvia. Si <math>H</math> es un subconjunto no vacío de <math>G</math> tal que <math>gh^{-1}\in H</math> para todo <math>g,h\in H</math>, entonces, en particular, <math>1=gg^{-1}\in H</math> (el elemento <math>g</math> existe, pues <math>H</math> es no vacío). Luego también <math>1g^{-1}=g^{-1}\in H</math>. Además, puesto que <math>g(h^{-1})^{-1}=gh\in G</math>, la operación binaria de <math>G</math> es también operación binaria en <math>H</math>, lo que demuestra que <math>H</math> es un subgrupo de <math>G</math>.

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