Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»

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{{Eqn|<math>(a*b)*c=a*(b*c)</math>}}
para cualesquiera <math>a,b</math> y <math>c</math> d <math>S</math>. Cuando para cualesquiera <math>a,b</math> de <math>S</math> se cumple <math>a*b=b*a</math>, se dice que la operación <math>*</math> es '''conmutativa'''. Por lo regular usaremos el símbolo <math>+</math> para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos <math>\cdot</math> o <math>+</math> para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, '''multiplicativa''' o '''aditiva'''.
 
'''Definición:''' Sea <math>G</math> un conjunto y <math>\cdot</math> una operación binaria en <math>G</math>. Se dice que el par <math>(G,\cdot)</math> es un '''semigrupo''' si la operación <math>\cdot</math> es asociativa. Si, además, existe un elemento <math>e\in G</math> tal que
 
'''<font size=3>Definición 1.2:</font>''' Sea <math>G</math> un conjunto y <math>\cdot</math> una operación binaria en <math>G</math>. Se dice que el par <math>(G,\cdot)</math> es un '''semigrupo''' si la operación <math>\cdot</math> es asociativa. Si, además, existe un elemento <math>e\in G</math> tal que
{{Eqn|<math>ae=ea=a,</math>}}
 
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'''<font size=3>Teorema 1.23 (Ley asociativa general):</font>''' Sea <math>G</math> un monoide y <math>a_1,\ldots, a_m,</math> <math>a_{m+1},\ldots, a_{m+n}</math> elementos de <math>G</math>. Entonces
{{Eqn|<math>
\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}=\prod_{i=1}^{m+n}a_i.
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'''<font size=3>Teorema 1.34 (Ley conmutativa general):</font>''' Sea <math>G</math> un monoide conmutativo y <math>a_1\ldots a_n</math> elementos de <math>G</math>. Sea <math>\phi</math> una aplicación del conjunto <math>\{1,\ldots,n\}</math> sobre sí mismo. Entonces
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i</math>}}
 
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C2=<math>\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_n.</math>
}}
Con el propósito de aplicar el teorema 1.23, definimos la aplicación <math>\theta</math> por
{|align="center"
|<math>\theta(i)=\phi(i)\quad</math>
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'''<font size=3>Definición 1.45:</font>''' Sea <math>G</math> un monoide. Un elemento <math>a</math> de <math>G</math> se dice '''invertible por la izquierda''' (resp. '''invertible por la derecha''') si existe un elemento <math>b</math>, llamado '''inverso izquierdo''' de <math>a</math> (resp. '''inverso derecho''' de <math>a</math>), tal que <math>ba=1</math> (resp. <math>ab=1</math>). Se llama '''invertible''' a un elemento <math>a</math> que es invertible por ambos lados.
 
Si un elemento <math>a</math> de un monoide <math>G</math> es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si <math>b</math> y <math>c</math> son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de <math>a</math>, entonces <math>b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c</math>.
 
'''<font size=3>Definición 1.56:</font>''' Se llama '''grupo''' a un monoide <math>G</math> cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo <math>a</math> de <math>G</math> existe <math>b</math> de <math>G</math> tal que
{{Eqn|<math>ab=ba=1.</math>}}
 
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'''<font size=3>Teorema 1.67:</font>''' Sea <math>G</math> un grupo y <math>a,b,c</math> elementos de <math>G</math>. Se cumplen
 
:'''(G-1)'''<math>aa=a</math> implica <math>a=1</math>
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'''<font size=3>Teorema 1.78:</font>''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si
 
# existe una identidad por la izquierda <math>1</math> tal que para todo elemento <math>a</math> de <math>G</math>, <math>1a=a</math>;
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'''Demostración:''' La implicación es obvia. Por la otra parte, <math>G</math> cumple también con (G-1) del teorema 1.57 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de
{{Eqn|<math>(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},</math>}}
se deduce que <math>aa^{-1}=1</math>, por lo que <math>a^{-1}</math> es también inverso de <math>a</math> por la derecha. Además, <math>a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a</math>, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en <math>G</math>, luego <math>G</math> es un grupo.
 
 
'''<font size=3>Teorema 1.89:</font>''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math> las ecuaciones
{{Eqn|<math>ax=b\qquad\mbox{y}\qquad ya=b</math>}}
tienen soluciones únicas en <math>G</math>.