Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»

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Cambios menores
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Con estas definiciones, se cumple el
 
 
'''<font size=3>Teorema 1.2 (Ley asociativa general):</font>''' Sea <math>G</math> un monoide y <math>a_1,\ldots, a_m,</math> <math>a_{m+1},\ldots, a_{m+n}</math> elementos de <math>G</math>. Entonces
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Se dice que un monoide <math>G</math> es '''conmutativo''' si su operación es conmutativa.
 
'''<font size=3>Teorema 1.3 (Ley conmutativa general):</font>''' Sea <math>G</math> un monoide conmutativo y <math>a_1\ldots a_n</math> elementos de <math>G</math>. Sea <math>\phi</math> una aplicación del conjunto <math>\{1,\ldots,n\}</math> sobre sí mismo. Entonces
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i</math>}}
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C2=<math>\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_n.</math>
}}
Con el propósito de aplicar el teorema \ref{teo:associativelaw}1.2, definimos la aplicación <math>\theta</math> por
{|align="center"
|<math>\theta(i)=\phi(i)\quad</math>
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El teorema siguiente recoje algunos hechos básicos a cerca de los grupos.
 
 
'''<font size=3>Teorema 1.5:</font>''' Sea <math>G</math> un grupo y <math>a,b,c</math> elementos de <math>G</math>. Se cumplen
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Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.
 
 
'''<font size=3>Teorema 1.6:</font>''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si
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'''Demostración:''' La implicación es obvia. Por la otra parte, <math>G</math> cumple también con (G-1) del teorema \ref{teo:groupproperties}1.5 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de
{{Eqn|<math>(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},</math>}}
se deduce que <math>aa^{-1}=1</math>, por lo que <math>a^{-1}</math> es también inverso de <math>a</math> por la derecha. Además, <math>a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a</math>, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en <math>G</math>, luego <math>G</math> es un grupo.
 
 
'''<font size=3>Teorema 1.7:</font>''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math> las ecuaciones
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{{Eqn|<math>
ge=(ta)e=t(ae)=ta=g
</math>|1.1}}
y
{{Eqn|<math>
e'g=e'(as)=(e'a)s=as=g.
</math>|1.2}}
Puesto que <math>g</math> es cualquier elemento de <math>G</math>, podemos tomar <math>g=e'</math> en (\ref{equ:solutionsofequation1{Eqnref|1.1}}) y <math>g=e</math> en (\ref{equ:solutionsofequation2{Eqnref|1.2}}), obteniendo <math>e'e=e'</math> y <math>e'e=e</math>, luego <math>e=e'</math> es la identidad de <math>G</math>. Ahora, si <math>a'</math> y <math>a''</math> son las soluciones de <math>ax=e</math> y <math>ya=e</math>, entonces <math>a'</math> y <math>a''</math> son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de <math>a</math>, y como vimos, (pag.debe \pageref{par:invizqder}),de esser <math>a'=a''</math>. Esto prueba que <math>G</math> es un grupo.