Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»

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===Semigrupos, monoides y grupos===
'''Definición:''' Sea <math>S</math> un conjunto. Una aplicación
{{Eqn|<math>*:S\times S\longrightarrow S</math>}}
se dice una '''operación binaria''' (o '''ley de composición interna''') en <math>S</math>. La imagen de cualquier par <math>(a,b)</math> bajo la operación <math>*</math> se representa por <math>a*b</math>. Cuando el símbolo que representa la operación es <math>\cdot</math>, entonces la imagen de <math>(a,b)</math> bajo la operación <math>\cdot</math> suele representarse también por <math>ab</math>.
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{{Eqn|<math>(a*b)*c=a*(b*c)</math>}}
para cualesquiera <math>a,b</math> y <math>c</math> d <math>S</math>. Cuando para cualesquiera <math>a,b</math> de <math>S</math> se cumple <math>a*b=b*a</math>, se dice que la operación <math>*</math> es '''conmutativa'''. Por lo regular usaremos el símbolo <math>+</math> para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos <math>\cdot</math> o <math>+</math> para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, '''multiplicativa''' o '''aditiva'''.
'''Definición:''' Sea <math>G</math> un conjunto y <math>\cdot</math> una operación binaria en <math>G</math>. Se dice que el par <math>(G,\cdot)</math> es un '''semigrupo''' si la operación <math>\cdot</math> es asociativa. Si, además, existe un elemento <math>e\in G</math> tal que
{{Eqn|<math>ae=ea=a,</math>}}
 
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</math>}}
 
'''Demostración:''' Por inducción sobre <math>n</math>. Para <math>n=0</math> es evidente. Supuesto cierto para <math>n</math>, vemos que
{{Eqnarray|
A1=<math>\prod_{i=1}^{m+n+1}a_i</math>|A2=<math>\prod_{i=1}^{m+n}a_i\cdot a_{m+n+1}</math>|
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{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i</math>}}
 
'''Demostración:''' Por inducción sobre <math>n</math>. Para <math>n=1</math> es evidente. Supóngase cierto para <math>n-1</math>. Sea <math>k</math> el entero tal que <math>\phi(k)=n</math>. Entonces,
{{Eqnarray|
A1=<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}</math>|A2=<math>\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot a_{\phi(k)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}</math>|
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'''Definición:''' Sea <math>G</math> un monoide. Un elemento <math>a</math> de <math>G</math> se dice '''invertible por la izquierda''' (resp. '''invertible por la derecha''') si existe un elemento <math>b</math>, llamado '''inverso izquierdo''' de <math>a</math> (resp. '''inverso derecho''' de <math>a</math>), tal que <math>ba=1</math> (resp. <math>ab=1</math>). Se llama '''invertible''' a un elemento <math>a</math> que es invertible por ambos lados.
 
Si un elemento <math>a</math> de un monoide <math>G</math> es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si <math>b</math> y <math>c</math> son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de <math>a</math>, entonces <math>b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c</math>.
'''Definición:''' Se llama '''grupo''' a un monoide <math>G</math> cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo <math>a</math> de <math>G</math> existe <math>b</math> de <math>G</math> tal que
{{Eqn|<math>ab=ba=1.</math>}}
 
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El teorema siguiente recoje algunos hechos básicos a cerca de los grupos.
 
'''Teorema:''' Sea <math>G</math> un grupo y <math>a,b,c</math> elementos de <math>G</math>. Se cumplen
 
:'''(G-1)'''<math>aa=a</math> implica <math>a=1</math>
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'''Demostración:''' (G-1) Si <math>aa=a</math>, entonces <math>a=a(aa^{-1})=(aa)a^{-1}=aa^{-1}=1</math>. (G-2) Si <math>ab=ac</math>, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por <math>a^{-1}</math> se obtiene <math>b=c</math>. (G-3) <math>(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a</math>. (G-4) <math>(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1</math>, de modo que <math>b^{-1}a^{-1}</math> es inverso de <math>ab</math>, pero éste es único, así es que ha de ser <math>b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}</math>. La prueba de (G-5) se realiza por inducción.
 
Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.
 
'''Teorema:''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si
 
# existe una identidad por la izquierda <math>1</math> tal que para todo elemento <math>a</math> de <math>G</math>, <math>1a=a</math>;
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'''Demostración:''' La implicación es obvia. Por la otra parte, <math>G</math> cumple también con (G-1) del teorema \ref{teo:groupproperties} (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de
{{Eqn|<math>(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},</math>}}
se deduce que <math>aa^{-1}=1</math>, por lo que <math>a^{-1}</math> es también inverso de <math>a</math> por la derecha. Además, <math>a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a</math>, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en <math>G</math>, luego <math>G</math> es un grupo.
 
'''Teorema:''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math> las ecuaciones
{{Eqn|<math>ax=b\qquad\mbox{y}\qquad ya=b</math>}}
tienen soluciones únicas en <math>G</math>.
 
'''Demostración:''' Si <math>G</math> es un grupo, entonces las soluciones de <math>ax=b</math> y <math>ya=b</math> en <math>G</math> son <math>x=a^{-1}b</math> y <math>y=ba^{-1}</math>. Recíprocamente, si <math>G</math> es un semigrupo en el que las ecuaciones <math>ax=b</math> y <math>ya=b</math> tienen soluciones únicas, entonces, tomando <math>a=b</math>, tenemos que existen <math>e</math> y <math>e'</math> tales que
{{Eqn|<math>ae=a\qquad\mbox{y}\qquad e'a=a,</math>}}
y si <math>g</math> es un elemento cualquiera de <math>G</math>, entonces también existen <math>r</math> y <math>s</math> de <math>G</math> tales que