Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»

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Línea 13:
 
En lo sucesivo nos referiremos a un monoide <math>(G,\cdot)</math> simplemente como el monoide <math>G</math>, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.
 
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El elemento <math>e</math> aludido en la definición anterior se dice '''identidad''' del monoide <math>G</math> y es único, pues si <math>e'</math> fuera otro elemento de <math>G</math> con las mismas propiedades, entonces <math>e=ee'=e'</math>. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.
 
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Representaremos por <math>|G|</math> al cardinal de un monoide <math>G</math>.
Si <math>a</math> es el elemento de un monoide <math>G</math> y <math>n\in\Z</math> es un entero positivo, definimos
Línea 21:
{{Eqn|<math>a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ \mbox{factores}).</math>}}
Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos <math>na</math> en lugar de <math>a^n</math> y <math>-na</math> en lugar de <math>a^{-n}</math>.
 
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Sea <math>G</math> un monoide y <math>a_1\xvecldots a_n</math> elementos de <math>G</math> con <math>1<n\in\Z</math>. Se define inductivamente el producto de a_1\xvecldots a_n\ como
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdots a_n=(a_1\cdots a_{n-1})a_n.</math>}}
Definimos
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^0 a_i=\prod_{i=1}^1a_i=1.</math>}}
 
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Con estas definiciones, se cumple el
 
'''Teorema (Ley asociativa general):''' Sea <math>G</math> un monoide y <math>a_1,\ldots, a_m,</math> <math>a_{m+1},\ldots, a_{m+n}</math> elementos de <math>G</math>. Entonces
{{Eqn|<math>
\begin{equation}
\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}=\prod_{i=1}^{m+n}a_i.\nonumber
</math>}}
\end{equation}
 
'''Demostración:'''Por inducción sobre <math>n</math>. Para <math>n=0</math> es evidente. Supuesto cierto para <math>n</math>, vemos que
Línea 42:
lo que demuestra el teorema.
 
 
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Se dice que un monoide <math>G</math> es '''conmutativo''' si su operación es conmutativa.
'''Teorema (Ley conmutativa general):''' Sea <math>G</math> un monoide conmutativo y <math>a_1\xvecldots a_n</math> elementos de <math>G</math>. Sea <math>\phi</math> una aplicación del conjunto <math>\{1,\ldots,n\}</math> sobre sí mismo. Entonces
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i</math>}}
 
Línea 75:
 
El elemento <math>b</math> aludido en la definición anterior se llama '''inverso''' de <math>a</math> y es único, pues si <math>b'</math> es otro inverso de <math>a</math>, entonces <math>b=b(ab')=(ba)b'~=~b'</math>. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de <math>a</math> se denota, respectivamente, por $a^{-1}$ y <math>-a</math>.
 
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Un grupo <math>G</math> en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que <math>ab=ba</math> para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math>, se dice grupo '''abeliano'''.
 
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El teorema siguiente recoje algunos hechos básicos a cerca de los grupos.
 
Línea 112:
{{Eqn|<math>as=g\qquad\mbox{y}\qquad ta=g,</math>}}
de modo que
{{Eqn|<math>
\begin{equation}\label{equ:solutionsofequation1}
ge=(ta)e=t(ae)=ta=g
</math>}}
\end{equation}
y
{{Eqn|<math>
\begin{equation}\label{equ:solutionsofequation2}
e'g=e'(as)=(e'a)s=as=g.
</math>}}
\end{equation}
Puesto que <math>g</math> es cualquier elemento de <math>G</math>, podemos tomar <math>g=e'</math> en (\ref{equ:solutionsofequation1}) y <math>g=e</math> en (\ref{equ:solutionsofequation2}), obteniendo <math>e'e=e'</math> y <math>e'e=e</math>, luego <math>e=e'</math> es la identidad de <math>G</math>. Ahora, si <math>a'</math> y <math>a''</math> son las soluciones de <math>ax=e</math> y <math>ya=e</math>, entonces <math>a'</math> y <math>a''</math> son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de <math>a</math>, y como vimos (pag. \pageref{par:invizqder}), es <math>a'=a''</math>. Esto prueba que <math>G</math> es un grupo.