Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»
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===Semigrupos, monoides y grupos===
'''Definición:'''Sea <math>S</math> un conjunto. Una aplicación
{{Eqn|<math>*:S\times S\longrightarrow S</math>}}
se dice una '''operación binaria''' (o '''ley de composición interna''') en <math>S</math>. La imagen de cualquier par <math>(a,b)</math> bajo la operación <math>*</math> se representa por <math>a*b</math>. Cuando el símbolo que representa la operación es <math>\cdot</math>, entonces la imagen de <math>(a,b)</math> bajo la operación <math>\cdot</math> suele representarse también por <math>ab</math>.
Una operación binaria <math>*</math> sobre un conjunto <math>S</math> se dice '''asociativa''' si
{{Eqn|<math>(a*b)*c=a*(b*c)</math>}}
para cualesquiera <math>a,b</math> y <math>c</math> d <math>S</math>. Cuando para cualesquiera <math>a,b</math> de <math>S</math> se cumple <math>a*b=b*a</math>, se dice que la operación <math>*</math> es '''conmutativa'''. Por lo regular usaremos el símbolo <math>+</math> para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos <math>\cdot</math> o <math>+</math> para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, '''multiplicativa''' o '''aditiva'''.
'''Definición:'''Sea <math>G</math> un conjunto y <math>\cdot</math> una operación binaria en <math>G</math>. Se dice que el par <math>(G,\cdot)</math> es un '''semigrupo''' si la operación <math>\cdot</math> es asociativa. Si, además, existe un elemento <math>e\in G</math> tal que
{{Eqn|<math>ae=ea=a,</math>}}
entonces el par <math>(G,\cdot)</math> se llama un '''monoide'''.
\smallskip
El elemento <math>e</math> aludido en la definición anterior se dice '''identidad''' del monoide <math>G</math> y es único, pues si <math>e'</math> fuera otro elemento de <math>G</math> con las mismas propiedades, entonces <math>e=ee'=e'</math>. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.
\medskip
Representaremos por <math>|G|</math> al cardinal de un monoide <math>G</math>.
Si <math>a</math> es el elemento de un monoide <math>G</math> y <math>n\in\Z</math> es un entero positivo, definimos
{{Eqn|<math>a^n=a\cdots a\qquad (n\ \mbox{factores}),</math>}}
{{Eqn|<math>a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ \mbox{factores}).</math>}}
Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos <math>na</math> en lugar de <math>a^n</math> y <math>-na</math> en lugar de <math>a^{-n}</math>.
\medskip
Sea <math>G</math> un monoide y <math>\xvec</math> elementos de <math>G</math> con <math>1<n\in\Z</math>. Se define inductivamente el producto de \xvec\ como
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdots a_n=(a_1\cdots a_{n-1})a_n.</math>}}
Definimos
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^0 a_i=\prod_{i=1}^1a_i=1.</math>}}
\smallskip
Con estas definiciones, se cumple el
'''Teorema (Ley asociativa general):''' Sea <math>G</math> un monoide y <math>a_1,\ldots, a_m,</math> <math>a_{m+1},\ldots, a_{m+n}</math> elementos de <math>G</math>. Entonces
\begin{equation}
\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}=\prod_{i=1}^{m+n}a_i.\nonumber
\end{equation}
'''
\begin{eqnarray*}
\prod_{i=1}^{m+n+1}a_i &=& \prod_{i=1}^{m+n}a_i\cdot a_{m+n+1}\\
&=& \prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}\cdot a_{m+n+1}\\
&=& \prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^{n+1} a_{j+m},
\end{eqnarray*}
lo que demuestra el teorema.
\smallskip
Se dice que un monoide <math>G</math> es '''conmutativo''' si su operación es conmutativa.
'''Teorema (Ley conmutativa general):''' Sea <math>G</math> un monoide conmutativo y <math>\xvec</math> elementos de <math>G</math>. Sea <math>\phi</math> una aplicación del conjunto <math>\{1,\ldots,n\}</math> sobre sí mismo. Entonces
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i</math>}}
\begin{eqnarray*}
\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)} &=& \prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot a_{\phi(k)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\\
&=& \prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_{\phi(k)}\\
&=& \prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_n.
\end{eqnarray*}
Con el propósito de aplicar el teorema \ref{teo:associativelaw}, definimos la aplicación <math>\theta</math> por
\begin{eqnarray*}
\theta(i)=\phi(i) &\quad & \mbox{si}\ i<k,\\
\theta(i)=\phi(i+1) &\quad & \mbox{si}\ i\geq k.
\end{eqnarray*}
Así tenemos que
\begin{eqnarray*}
\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)} &=& \prod_{i=1}^{k-1}a_{\theta(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\theta(k-1+i)}\cdot a_n\\
&=& \prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}\cdot a_n,
\end{eqnarray*}
donde <math>\prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}=\prod_{i=1}^{n-1}a_i</math> por hipótesis de inducción, y así
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i.</math>}}
'''Definición:'''Sea <math>G</math> un monoide. Un elemento <math>a</math> de <math>G</math> se dice '''invertible por la izquierda''' (resp. '''invertible por la derecha''') si existe un elemento <math>b</math>, llamado '''inverso izquierdo''' de <math>a</math> (resp. '''inverso derecho''' de <math>a</math>), tal que <math>ba=1</math> (resp. <math>ab=1</math>). Se llama '''invertible''' a un elemento <math>a</math> que es invertible por ambos lados.
Si un elemento <math>a</math> de un monoide <math>G</math> es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si <math>b</math> y <math>c</math> son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de <math>a</math>, entonces <math>b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c</math>.
'''Definición:'''Se llama '''grupo''' a un monoide <math>G</math> cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo <math>a</math> de <math>G</math> existe <math>b</math> de <math>G</math> tal que
{{Eqn|<math>ab=ba=1.</math>}}
El elemento <math>b</math> aludido en la definición anterior se llama '''inverso''' de <math>a</math> y es único, pues si <math>b'</math> es otro inverso de <math>a</math>, entonces <math>b=b(ab')=(ba)b'~=~b'</math>. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de <math>a</math> se denota, respectivamente, por $a^{-1}$ y <math>-a</math>.
\smallskip
Un grupo <math>G</math> en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que <math>ab=ba</math> para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math>, se dice grupo '''abeliano'''.
\medskip
El teorema siguiente recoje algunos hechos básicos a cerca de los grupos.
'''Teorema:''' Sea <math>G</math> un grupo y <math>a,b,c</math> elementos de <math>G</math>. Se cumplen
\begin{enumerate}[\bfseries\upshape(G-1)]
\item <math>aa=a</math> implica <math>a=1</math>
\item <math>ab=ac</math> implica <math>a=c</math>
\item <math>(a^{-1})^{-1}=a</math>
\item <math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>
\item <math>(a_1\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_1^{-1}</math>
\end{enumerate}
'''Demostración:'''(G-1) Si <math>aa=a</math>, entonces <math>a=a(aa^{-1})=(aa)a^{-1}=aa^{-1}=1</math>. (G-2) Si <math>ab=ac</math>, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por <math>a^{-1}</math> se obtiene <math>b=c</math>. (G-3) <math>(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a</math>. (G-4) <math>(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1</math>, de modo que <math>b^{-1}a^{-1}</math> es inverso de <math>ab</math>, pero éste es único, así es que ha de ser <math>b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}</math>. La prueba de (G-5) se realiza por inducción.
Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.
'''Teorema:'''Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si
\begin{enumerate}[(1)]
\item existe una identidad por la izquierda <math>1</math> tal que para todo elemento <math>a</math> de <math>G</math>, <math>1a=a</math>;
\item todo elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene un inverso por la izquierda <math>a^{-1}</math>.
\end{enumerate}
'''Demostración:'''La implicación es obvia. Por la otra parte, <math>G</math> cumple también con (G-1) del teorema \ref{teo:groupproperties} (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de
{{
se deduce que <math>aa^{-1}=1</math>, por lo que <math>a^{-1}</math> es también inverso de <math>a</math> por la derecha. Además, <math>a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a</math>, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en <math>G</math>, luego <math>G</math> es un grupo.
'''Teorema:'''Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math> las ecuaciones
{{Eqn|<math>ax=b\qquad\mbox{y}\qquad ya=b</math>}}
tienen soluciones únicas en <math>G</math>.
'''Demostración:'''Si <math>G</math> es un grupo, entonces las soluciones de <math>ax=b</math> y <math>ya=b</math> en <math>G</math> son <math>x=a^{-1}b</math> y <math>y=ba^{-1}</math>. Recíprocamente, si <math>G</math> es un semigrupo en el que las ecuaciones <math>ax=b</math> y <math>ya=b</math> tienen soluciones únicas, entonces, tomando <math>a=b</math>, tenemos que existen <math>e</math> y <math>e'</math> tales que
{{
y si <math>g</math> es un elemento cualquiera de <math>G</math>, entonces también existen <math>r</math> y <math>s</math> de <math>G</math> tales que
{{Eqn|<math>as=g\qquad\mbox{y}\qquad ta=g,</math>}}
de modo que
\begin{equation}\label{equ:solutionsofequation1}
ge=(ta)e=t(ae)=ta=g
\end{equation}
y
\begin{equation}\label{equ:solutionsofequation2}
e'g=e'(as)=(e'a)s=as=g.
\end{equation}
Puesto que <math>g</math> es cualquier elemento de <math>G</math>, podemos tomar <math>g=e'</math> en (\ref{equ:solutionsofequation1}) y <math>g=e</math> en (\ref{equ:solutionsofequation2}), obteniendo <math>e'e=e'</math> y <math>e'e=e</math>, luego <math>e=e'</math> es la identidad de <math>G</math>. Ahora, si <math>a'</math> y <math>a''</math> son las soluciones de <math>ax=e</math> y <math>ya=e</math>, entonces <math>a'</math> y <math>a''</math> son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de <math>a</math>, y como vimos (pag. \pageref{par:invizqder}), es <math>a'=a''</math>. Esto prueba que <math>G</math> es un grupo.
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