Diferencia entre revisiones de «Problemario de Señales y Sistemas/Convolución»
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Línea 75:
En el intervalo donde esta definido <math> x_1(t) = e^{-|t|}\ u(t)\ u(2-t) \,</math>, <math>[0,2] \,</math>, <math>t\ge0</math>
Por lo que se puede reescribir <math> x_1(t) = e^{-t}\ u(t)\ u(2-t) \,</math>
Línea 84:
Para <math>k=0 \,</math>
<math>x_3(t)=u(-t+ \frac {1}{2})\ u(t+ \frac {1}{2}) \,</math> Entonces, utilizando la definición de convolución;
<math>y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x_3(\tau)x_1(t-\tau)\, d\tau</math>
Esta convolución se calcula graficamente de la siguiente manera:
*<math>-\frac {1}{2} \le t \le \frac {1}{2}</math>
<math>y(t)=\int_{-\frac {1}{2}}^{t} e^{-t+\tau}\, d\tau=1-e^{-t+\frac {1}{2}}</math>
*<math>\frac {1}{2} \le t \le \frac {3}{2}</math>
<math>y(t)=\int_{-\frac {1}{2}}^{\frac {1}{2}} e^{-t+\tau}\, d\tau=e^{-t+\frac {1}{2}}-e^{-(t+\frac {1}{2})}</math>
*<math>\frac {3}{2} \le t \le \frac {5}{2}</math>
<math>y(t)=\int_{t-2}^{\frac {1}{2}} e^{-t+\tau}\, d\tau=e^{-t+\frac {1}{2}}-e^{-2}</math>
*<math>y(t)=0 \,</math> para todo lo demás
Para hallar la señal periódica <math>y(t) \,</math> reemplazamos <math>t\ \mbox{por}\ t-8k \,</math>, resultando:
<math>y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \begin{cases} 1-e^{-t-\frac {1}{2}+8k}, & \mbox{si } -\frac {1}{2}+8k \le t \le \frac {1}{2}+8k \\ e^{-(t-\frac {1}{2}-8k)}-e^{-(t+\frac {1}{2}-8k)}, & \mbox{si } \frac {1}{2}+8k \le t \le \frac {3}{2}+8k \\ e^{-t+\frac {1}{2}+8k}-e^{-2}, & \mbox{si } \frac {3}{2}+8k \le t \le \frac {5}{2}+8k \\ 0, & \mbox{ para todo lo demas} \end{cases}</math>
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