Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Generalidades/Conjuntos de números»

Ahora estudiaremos un poco más a fondo los conjuntos de números que emplearemos en este libro. El primer conjunto que estudiaremos es el de los <math>números naturales</math>,

Los números naturales son, valga la redundancia, muy "naturales", y es quizá por ello que raras veces se pregunta uno el por qué de sus características o propiedades. Sin entrar mucho en el trasfondo del asunto, mencionaremos aquellos principios básicos que dan su estructura a los números naturales. Estos principios son los llamados <math>axiomas de Peano</math>, en honor al lógico-matemático Giuseppe Peano, quien los expuso por primera vez en su obra Arithmetices principia (1889). Los axiomas de Peano, que en la obra original de Peanoeste matemático eran nueve, hoy han podido ser reducidos a los cinco siguientes:

Puede decirse que el conjunto <math>\mathbb{Z}</math> incluye a los números naturales así como a una replica de ellos, cuya diferencia es un signo de menos. Estos Esenteros posiblenegativos darnos unadan definiciónsolucion más rigurosa de <math>\mathbb{Z}</math> a partir de los números naturales, y así se ha hecho en el Apéndice A. Lo que observaremos aquí es que, siendo <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> números naturales,para la ecuación

donde <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> son números enteros? Ciertamente, para que esta ecuación tenga siempre solución, hemos de buscarlas en el conjunto de los números racionales, <math>\mathbb{Q}</math>. Este conjunto es descrito frecuentemente como el que incluye a todos los números que pueden expresarse de la forma <math>\frac{a}{b}</math>, con <math>a</math> y <math>b\neq 0</math> enteros (es decir, <math>\mathbb{Q}</math> incluye también fracciones). Puesto que todo entero <math>a</math> puede expresarse como un cociente de enteros (por ejemplo <math>\frac{a}{1}</math>), resulta que <math>\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}</math>.


Notemos que existen expresiones decimales de números racionales donde aparecen infinitas cifras, aunque siempre repetidas. Por ejemplo, la representación decimal de la fracción <math>\frac{1}{3}</math> es <math>0.3333\ldots</math>, una repetición de puros 3, mientras que la expresión decimal de <math>\frac{47}{11}</math> es <math>4.272727\ldots</math>, una repetición de 2 y 7 siempre en el mismo orden. Este tipo de expresiones se dicen ''decimales periódicas infinitas'', y es fácil demostrar que toda expresión decimal periódica infinita representa un número racional.

A pesar de ser el conjunto <math>\mathbb{Q}</math> mas grande en apariencia que el conjunto <math>\mathbb{Z}</math>, aquél no es suficiente para resolver todas las ecuaciones. Por ejemplo, ningún <math>ax\in\mathbb{Q}</math> cumple con

<center><math>ax^2=2</math>.</center>

Nos encontramos pues ante la necesidad de un conjunto más amplio, que nos de soluciones para la ecuación anterior, y muchas otras. Éste conjunto puede ser el de los números reales, <math>\mathbb{R}</math>,. queEl incluyeconjunto a todosde los racionales y a otros números, frecuentementereales llamadosincluye números ''irracionales'',que unoson desoluciones lospara cualesecuaciones es solución decomo la ecuación anterior. Pory desgraciaque, estepor conjuntono tambiénser tienenúmeros sus limitacionesracionales, comoson veremosllamados másnúmeros adelanteirracionales. enComo eles librode esperarse, y porla ellorepresentación hemosdecimal de usar losestos números complejos.es Elinfinita conjuntoy deno losperiódica, númerospor complejosejemplo, <math>\mathbbsqrt{C2}</math>, ofrecees solucionesun para todas las ecuaciones algebraicas, y así, será el conjunto de números quenúmero emplearemosirracional.