Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Generalidades/Conjuntos de números»
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Ahora estudiaremos un poco más a fondo los conjuntos de números que emplearemos en este libro. El primer conjunto que estudiaremos es el de los <math>números naturales</math>,
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Los números naturales son, valga la redundancia, muy "naturales", y es quizá por ello que raras veces se pregunta uno el por qué de sus características o propiedades. Sin entrar mucho en el trasfondo del asunto, mencionaremos aquellos principios básicos que dan su estructura a los números naturales. Estos principios son los llamados <math>axiomas de Peano</math>, en honor al lógico-matemático Giuseppe Peano, quien los expuso por primera vez en su obra Arithmetices principia (1889). Los axiomas de Peano, que en la obra original de
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Puede decirse que el conjunto <math>\mathbb{Z}</math> incluye a los números naturales así como a una replica de ellos, cuya diferencia es un signo de menos. Estos
<center><math>a+b=c</math></center>▼
<center><math>x+b=c,</math></center>
puede no tener solución dentro del mismo <math>\mathbb{N}</math>. Sin embargo, esta ecuación encuentra siempre solución, siendo <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> enteros, dentro de <math>\mathbb{Z}</math>. Vemos pues que <math>\mathbb{Z}</math> presenta una ventaja sobre \mathbb{N} ¿Pero qué sucede con la cuación▼
aún cuando <math>b</math> sea mayor que <math>c</math>. Por ejemplo, para
<center><math>x+5=4</math></center>
se tiene <math>x=-1</math>, un número no natural pero si entero.
Es posible dar una definición más rigurosa de <math>\mathbb{Z}</math> a partir de los números naturales, y así se ha hecho en el Apéndice A. Lo que ya observamos aquí es que, siendo <math>b</math> y <math>c</math> números naturales, la ecuación
▲puede no tener solución dentro del mismo <math>\mathbb{N}</math> (esto sucede cuando <math>b</math> es mayor que <math>c</math>). Sin embargo, esta ecuación encuentra siempre solución, siendo
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donde <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> son números enteros? Ciertamente, para que esta ecuación tenga siempre solución, hemos de buscarlas en el conjunto de los números racionales, <math>\mathbb{Q}</math>. Este conjunto es descrito frecuentemente como el que incluye a todos los números que pueden expresarse de la forma <math>\frac{a}{b}</math>, con <math>a</math> y <math>b\neq 0</math> enteros (es decir, <math>\mathbb{Q}</math> incluye también fracciones). Puesto que todo entero <math>a</math> puede expresarse como un cociente de enteros (por ejemplo <math>\frac{a}{1}</math>), resulta que <math>\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}</math>.
Notemos que existen expresiones decimales de números racionales donde aparecen infinitas cifras, aunque siempre repetidas. Por ejemplo, la representación decimal de la fracción <math>\frac{1}{3}</math> es <math>0.3333\ldots</math>, una repetición de puros 3, mientras que la expresión decimal de <math>\frac{47}{11}</math> es <math>4.272727\ldots</math>, una repetición de 2 y 7 siempre en el mismo orden. Este tipo de expresiones se dicen ''decimales periódicas infinitas'', y es fácil demostrar que toda expresión decimal periódica infinita representa un número racional. A pesar de ser el conjunto <math>\mathbb{Q}</math> mas grande en apariencia que el conjunto <math>\mathbb{Z}</math>, aquél no es suficiente para resolver todas las ecuaciones. Por ejemplo, ningún <math>
<center><math>
Nos encontramos pues ante la necesidad de un conjunto más amplio, que nos de soluciones para la ecuación anterior, y muchas otras. Éste conjunto puede ser el de los números reales, <math>\mathbb{R}</math>
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