Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones»

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'''1.7.15.''' Sean <math>x</math> e <math>y</math> dos conjuntos y considérese unaLa función <math>f:x\longrightarrow y</math>. Sea <math>x'</math> un subconjunto de <math>x</math>. La función <math>f|_mathrm{x'id}_x:x'\longrightarrow yx</math> dada por
 
 
<center><math>\mathrm{id}_x(a)=a</math></center>
 
 
para todo <math>a\in x</math>, y que por tanto envía cada elemento de <math>x</math> consigo mismo, se llama función ''identidad''.
 
 
Es claro que, siendo <math>f:x\longrightarrow y</math>,
 
 
<center><math>f^\mathrm{-1id}(b)_x\circ f=af</math> si y solo si <math>f(a)\circ\mathrm{id}_y=bf</math>.</center>
 
 
Si <math>f:x\longrightarrow x</math>, esto se reduce a
 
 
<center><math>((f\circ g)\mathrm{id}_x=\mathrm{id}_x\circ h)(a)f=h(g(f(a)))</math>.</center>
 
 
'''1.7.16.''' Sean <math>x</math> e <math>y</math> dos conjuntos y considérese una función <math>f:x\longrightarrow y</math>. Sea <math>x'</math> un subconjunto de <math>x</math>. La función <math>f|_{x'}:x'\longrightarrow y</math> dada por
 
 
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'''1.7.1617.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una aplicación de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>, y sea <math>g:y\longrightarrow zx_1</math> unaun aplicaciónsubconjunto de <math>y</math> en un conjunto <math>zx</math>. La aplicación
 
 
<center><math>f\circ gi:xx_1\longrightarrow zx</math></center>
 
 
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<center> <math> i(f\circ g)(xa)=g(f(x)) a</math>,</center>
 
 
e.i. la restricción <math>\id_x|_{x_1}</math>, se llama ''inyección canónica'' de <math>x_1</math> en x.
se dice ''composición'' de <math>f</math> y <math>g</math>. Esto es, <math>f\circ g</math> resulta de aplicar <math>f</math> seguida de <math>g</math>, por lo que si <math>f</math> envía un elemento <math>a\in x</math> con un elemento <math>b\in y</math> y <math>g</math> envía a <math>b\in y</math> con un elemento <math>c\in z</math>, entonces <math>f\circ g</math> envía directamente el elemento <math>a\in x</math> con el elemento <math>c\in z</math> (Refiérase a la figura de abajo).
 
 
'''1.7.18.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una aplicación de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>, y sea <math>g:y\longrightarrow z</math> una aplicación de <math>y</math> en un conjunto <math>z</math>. La aplicación
 
'''1.7.17.''' Sean las funciones <math>f:x\longrightarrow y</math>, <math>g:y\longrightarrow z</math> y <math>h:z\longrightarrow v</math>. Tenemos que <math>f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h</math>. Para convencernos de ello es suficiente ver que
 
<center><math>(f\circ( g:x\circlongrightarrow h))(a)=h(g(f(a)))z</math></center>
 
<center><math>(f\circ(g\circ h))(a)=h(g(f(a)))</math></center>
 
dada por
 
y que
 
<center> <math> (f\circ g)(x)=g(f(x)) </math></center>
 
<center><math>((f\circ g)\circ h)(a)=h(g(f(a)))</math>.</center>
 
se dice ''composición'' de <math>f</math> y <math>g</math>. Esto es, <math>f\circ g</math> resulta de aplicar <math>f</math> seguida de <math>g</math>, por lo que si <math>f</math> envía un elemento <math>a\in x</math> con un elemento <math>b\in y</math> y <math>g</math> envía a <math>b\in y</math> con un elemento <math>c\in z</math>, entonces <math>f\circ g</math> envía directamente el elemento <math>a\in x</math> con el elemento <math>c\in z</math> (Refiérase a la figura de abajo).
 
'''1.7.18.''' La función <math>\mathrm{id}_x:x\longrightarrow x</math> dada por
 
 
'''1.7.1719.''' Sean las funciones <math>f:x\longrightarrow y</math>, <math>g:y\longrightarrow z</math> y <math>h:z\longrightarrow v</math>. Tenemos que <math>f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h</math>. Para convencernos de ello es suficiente ver que
<center><math>\mathrm{id}_x(a)=a</math></center>
 
 
<center><math>(f\circ(g\circ h))(a)=h(g(f(a)))</math></center>
para todo <math>a\in x</math>, y que por tanto envía cada elemento de <math>x</math> consigo mismo, se llama función ''identidad''.
 
 
y que
Es claro que, siendo <math>f:x\longrightarrow y</math>,
 
 
<center><math>\mathrm{id}_x((f\circ f=f</math> y <math>fg)\circ\mathrm{id}_y h)(a)=h(g(f(a)))</math>.</center>
 
 
'''1.7.20''' Si <math>f:x\longrightarrow xy</math> es una función biyectiva, estopuede sedefinirse reducela función <math>f^{-1}</math>, llamada ''función inversa'' de <math>f</math>, apor
 
 
<center><math>f(b,a)\circ\mathrmin f^{id-1}_x=</math> si y solo si <math>(a,b)\mathrm{id}_x\circin f=f</math>.</center>
 
 
Es decir,
'''1.7.19.''' Si <math>f:x\longrightarrow y</math> es una función biyectiva, puede definirse la función <math>f^{-1}</math>, llamada ''función inversa'' de <math>f</math>, por
 
<center><math>(b,a)\in f^{-1}(b)=a</math> si y solo si <math>f(a,)=b)\in f</math>.</center>
 
'''1.7.21''' Es inmediato que
<center><math>(b,a)\in f^{-1}</math> si y solo si <math>(a,b)\in f</math>.</center>
 
<center><math>(f^{-1})^{-1}=f</math>.</center>
 
Esto es,
<center><math>f^{-1}(b)=a</math> si y solo si <math>f(a)=b</math>.</center>
 
''1.7.22.'' Además, se observa que
 
De este modo, se observa que, siendo <math>f:x\longrightarrow y</math>,
 
 
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<center><math>f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_x</math>.</center>
 
 
'''1.7.1823.''' LaNótese funcióntambién que, siendo <math>\mathrm{id}_xf:x\longrightarrow xy</math> dada por,
 
 
<center><math>f^{-1}\circ\id_x=f^{-1}\quad\mathrm{y}\quad\id_y\circ f^{-1}</math>.</center>