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'''1.7.2.''' Sean dos conjuntos <math>x</math> e <math>y</math>, y sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una función de <math>x</math> en <math>y</math>. Si <math>(a,b)\in f</math> se dice que <math>a</math> es ''antecedente'' de <math>b</math> por medio de <math>f</math>, y que <math>b</math> es ''imagen'' de <math>a</math> por medio de <math>f</math>. Por definición, un elemento <math>a\in x</math> no puede tener ni más ni menos que una sola imagen <math>b\in y</math>, que representaremos por <math>f(a)</math> (de modo que <math>b=f(a) </math> si y solo si <math>(a,b)\in f</math>). El conjunto <math>x</math> se dice ''dominio'' de la función <math>f</math>, y se representa comúnmente por <math>\mathrm{dom}(f) </math>, mientras que el subconjunto <math>y'\subseteq y</math> tal que para todo <math>b\in y'</math> existe <math>a\in x</math> tal que <math>b=f(a)</math> (i.e. el subconjunto de <math>y</math> que contiene solo las imágenes de los elementos de <math>x</math> por medio de <math>f</math>) se dice ''rango'' de la función <math>f</math>, y se representa por <math>\mathrm{ran} (f) </math>.
'''1.7.23.''' Claramente dos funciones <math>f:x\longrightarrow y</math> y <math>g:x\longrightarrow y</math> son iguales si y solo si
'''1.7.34.''' Tenemos también que si <math>x</math> e <math>y</math> son dos conjuntos, y si <math>f:x\longrightarrow y</math> es cualquier función de <math>x</math> en <math>y</math>, entonces <math>f\subseteq x\times y</math>, y así <math>f\in\mathcal{P}(x\times y)</math>. Luego, si <math>F</math> es el conjunto de todas las funciones <math>f:x\longrightarrow y</math>, <math>F\subseteq\mathcal{P}(x\times y)</math>, de modo que <math>F\in\mathcal{PP}(x\times y)</math>.
'''1.7.45.''' Sea <math>y</math> un conjunto cualquiera, y sea <math>f:\varnothing\longrightarrow y</math>. Claramente <math>f=\varnothing</math>.
'''1.7.56.''' Sea <math>x</math> un conjunto. La función
'''1.7.67.''' Sea la función <math>f:x\longrightarrow y</math> de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>;
Si
'''1.7.78.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math>, y sea <math>x_1</math> un subconjunto de <math>x</math> (i.e. un elemento de <math>\mathcal{P}(x) </math>). El conjunto <math>f(x')\subseteq y</math> dado por
'''1.7.89.''' Por otra parte, si <math>y_1\subseteq y</math>, entonces se define el conjunto <math>f^{-1}\left[y_1\right] </math> por
'''1.7.910.''' Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función <math>f:x\longrightarrow y</math> y dos familias <math>\{x\}_{i\in I}</math> e <math>\{y\}_{j\in J}</math> de subconjuntos de <math>x</math> e <math>y</math> respectivamente. Convenimos también en que <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>y_1</math>, <math>y_2</math> representan, respectivamente, subconjuntos de <math>x</math> y subconjuntos de <math>y</math>.
Tenemos que
<p>(k) <math>f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]=\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]</math>.</p>
</blockquote>
'''1.7.10.''' Sean <math>x</math> e <math>y</math> dos conjuntos y considérese una función <math>f:x\longrightarrow y</math>. Sea <math>x_1</math> un subconjunto de <math>x</math>. La función <math>f|_{x_1}:x_1\longrightarrow y</math> dada por
<center><math>f|_{x_1}(a)=f(a) </math>,</center> ▼
se dice ''restricción'' de <math>f</math> a <math>x_1</math>. Esto es, ▼
<center><math>f|_{x_1}=f\cap(x_1\times y) </math>,</center> ▼
por lo que la restricción de <math>f</math> a <math>x_1</math> es una función que resulta de 'recortar' el dominio de <math>f</math>. Es claro que <math>f|_{x_1}\subseteq f</math>. ▼
'''1.7.15.''' SeaSean <math>f:x\longrightarrow y</math> una aplicación de un conjuntoe <math>xy</math> endos otroconjuntos y considérese una función <math>f:x\longrightarrow y</math>,. y seaSea <math>g:y\longrightarrow zx'</math> unaun aplicaciónsubconjunto de <math>yx</math>. enLa un conjuntofunción <math>zf|_{x'}:x'\longrightarrow y</math>. Ladada aplicaciónpor
▲<center><math>f|_{ x_1x'}(a)=f(a) </math>,</center>
▲se dice ''restricción'' de <math>f</math> a <math> x_1x'</math>. Esto es,
▲<center><math>f|_{ x_1x'}=f\cap( x_1x'\times y) </math>,</center>
▲por lo que la restricción de <math>f</math> a <math> x_1x'</math> es una función que resulta de 'recortar' el dominio de <math>f</math>. Es claro que <math>f|_{ x_1x'}\subseteq f</math>.
'''1.7.16.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una aplicación de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>, y sea <math>g:y\longrightarrow z</math> una aplicación de <math>y</math> en un conjunto <math>z</math>. La aplicación
'''1.7.1617.''' Sean las funciones <math>f:x\longrightarrow y</math>, <math>g:y\longrightarrow z</math> y <math>h:z\longrightarrow v</math>. Tenemos que <math>f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h</math>. Para convencernos de ello es suficiente ver que
'''1.7.1718.''' La función <math>\mathrm{id}_x:x\longrightarrow x</math> dada por
'''1.7.1819.''' Si <math>f:x\longrightarrow y</math> es una función biyectiva, puede definirse la función <math>f^{-1}</math>, llamada ''función inversa'' de <math>f</math>, por
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