Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones»

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'''1.7.12.''' Sea una función <math>f:x\longrightarrow y</math>. Se cumplen:
<blockquote>
<p>(a) <math>f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]=\bigcup_{i\in I}f[x_i]</math>.</p>
</blockquote>
 
'''Demostración:''' Si <math>b\in f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]</math>, entonces existe al menos un <math>a\in\bigcup_{i\in I}x_i</math> tal que <math>f(a)=b</math>, y de esta manera <math>a\in x_i</math>, y con ello <math>b\in f\left[x_i\right]</math>, para almenos un <math>i\in I</math>. Así, <math>b\in \bigcup_{x\in I}f\left[x_i\right]</math>, lo que demuestra <math>f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]</math>. Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que <math>\bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]</math> se deja como ejercicio para el lector. QED
 
<blockquote>
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</blockquote>
 
La demostración se deja como ejercicio para el lector.
'''1.7.12.''' Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia <math>\{x\}_{i\in I}</math>, que se representa por <math>\bigcap_{i\in I}x_i</math>, se dice simplemente ''intersección'' de <math>\{x\}_{i\in I}</math>. Así pues (véase 1.3.5),
 
'''1.7.1213.''' Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia <math>\{x\}_{i\in I}</math>, que se representa por <math>\bigcap_{i\in I}x_i</math>, se dice simplemente ''intersección'' de <math>\{x\}_{i\in I}</math>. Así pues (véase 1.3.5),
 
 
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'''1.7.14.''' Sea una función <math>f:x\maps y</math>. Se cumplen
'''1.7.13.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una aplicación de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>, y sea <math>g:y\longrightarrow z</math> una aplicación de <math>y</math> en un conjunto <math>z</math>. La aplicación
 
<blockquote>
<p>(a) <math>f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]</math>.</p>
</blockquote>
 
'''Demostración:''' Sea <math>b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]</math>. Entonces existe <math>a\in\bigcap_{i\in I}x_i</math> tal que <math>f(a)=b</math>, con <math>a\in x_i</math> para todo índice <math>i\in I</math>. Por esta razón, <math>b\in f\left[x_i\right]</math> para todo <math>i\in I</math>, con lo que <math>b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]</math>. QED
 
<blockquote>
<p>(b) <math>f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]=\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]</math>.</p>
</blockquote>
 
'''Demostración:''' Si <math>a\in f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]</math>, <math>a</math> es el antecedente de un único <math>b\in\bigcap_{i\in I}y_i</math>, es decir, <math>b=f(a)</math>. Pero si <math>b\in\bigcap_{i\in I}y_i</math>, entonces <math>b\in y_i</math> para todo índice <math>i\in I</math>. Así <math>a\in f^{-1}\left[y_i\right]</math> para todo <math>i\in I</math>, luego <math>a\in\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]</math>. Esto demuestra que <math>f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]</math>. Demostrar que <math>\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]\subseteq f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]</math> se deja como ejercicio al lector. QED
 
 
Si la función $f$ es además inyectiva, se cumple
<blockquote>
<p>(c) <math>f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]=\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]</math>.</p>
</blockquote>
 
'''Demostración:''' En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que <math>f</math> sea inyectiva, <math>\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]</math>. Para esto, sea <math>b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]</math>, de manera que <math>b\in f\left[x_i\right]</math> para todo índice <math>i\in I</math>. Puesto que <math>f</math> es inyectiva, <math>b</math> no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser <math>b\in f\left[x_i\right]</math> para todo índice <math>i\in I</math>, cumple con <math>a\in x_i</math> para todo <math>i\in I</math>, con lo que <math>a\in\bigcap_{i\in I}x_i</math>. Así <math>b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]</math>, lo que demuestra lo que se quería. QED
 
 
Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función <math>f</math> sea inyectiva. La razón es que un elemento <math>a</math> puede no estar <math>x_i</math> para todo <math>i\in I</math>, y sin embargo, puede que su imagen <math>b=f(a)</math> si esté en todos los conjuntos <math>f\left[x_i\right]</math> debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos <math>x_i</math> que no tienen a <math>a</math>. Por ejemplo, supóngase <math>a</math>, cuya imagen es <math>b</math>, no está en <math>x_i</math> para algún <math>i\in I</math>, pero que este conjunto <math>x_i</math> contiene otro elemento <math>c</math> cuya imagen es también <math>b</math>, de tal manera que <math>b\in f\left[x_i\right]</math> para cualquiera que sea el índice <math>i\in I</math> sin necesidad de que <math>a\in x_i</math> para todo <math>i\in I</math>. En ese caso (cuando <math>f</math> es no inyectiva) tenemos
 
 
<center><math>f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subset\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]</math>.</center>
 
 
'''1.7.1315.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una aplicación de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>, y sea <math>g:y\longrightarrow z</math> una aplicación de <math>y</math> en un conjunto <math>z</math>. La aplicación
 
 
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'''1.7.1416.''' Sean las funciones <math>f:x\longrightarrow y</math>, <math>g:y\longrightarrow z</math> y <math>h:z\longrightarrow v</math>. Tenemos que <math>f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h</math>. Para convencernos de ello es suficiente ver que
 
 
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'''1.7.1417.''' La función <math>\mathrm{id}_x:x\longrightarrow x</math> dada por
 
 
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'''1.7.1618.''' Si <math>f:x\longrightarrow y</math> es una función biyectiva, puede definirse la función <math>f^{-1}</math>, llamada ''función inversa'' de <math>f</math>, por