Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones»

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Línea 1:
'''1.7.1.''' Sean <math>x</math> e <math>y</math> dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto <math>f</math> del producto cartesiano <math>x\times y</math> que cumpla
 
<blockquote>
Línea 11:
Sean dos conjuntos <math>x</math> e <math>y</math>, y sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una función de <math>x</math> en <math>y</math>. Si <math>(a,b)\in f</math> se dice que <math>a</math> es ''antecedente'' de <math>b</math> por medio de <math>f</math>, y que <math>b</math> es ''imagen'' de <math>a</math> por medio de <math>f</math>. Por definición, un elemento <math>a\in x</math> no puede tener ni más ni menos que una sola imagen <math>b\in y</math>, que representaremos por <math>f(a)</math> (de modo que <math>b=f(a) </math> si y solo si <math>(a,b)\in f</math>). El conjunto <math>x</math> se dice ''dominio'' de la función <math>f</math>, y se representa comúnmente por <math>\mathrm{dom}(f) </math>, mientras que el subconjunto <math>y'\subseteq y</math> tal que para todo <math>b\in y'</math> existe <math>a\in x</math> tal que <math>b=f(a)</math> (i.e. el subconjunto de <math>y</math> que contiene solo las imágenes de los elementos de <math>x</math> por medio de <math>f</math>) se dice ''rango'' de la función <math>f</math>, y se representa por <math>\mathrm{ran} (f) </math>.
 
'''1.7.2.''' Claramente dos funciones <math>f:x\longrightarrow y</math> y <math>g:x\longrightarrow y</math> son iguales si y solo si
 
 
Línea 20:
 
 
'''1.7.3.''' Tenemos también que si <math>x</math> e <math>y</math> son dos conjuntos, y si <math>f:x\longrightarrow y</math> es cualquier función de <math>x</math> en <math>y</math>, entonces <math>f\subseteq x\times y</math>, y así <math>f\in\mathcal{P}(x\times y)</math>. Luego, si <math>F</math> es el conjunto de todas las funciones <math>f:x\longrightarrow y</math>, <math>F\subseteq\mathcal{P}(x\times y)</math>, de modo que <math>F\in\mathcal{PP}(x\times y)</math>.
 
 
 
'''1.7.4.''' Sea <math>y</math> un conjunto cualquiera, y sea <math>f:\empty\longrightarrow y</math>. Claramente <math>f=\empty</math>.
 
 
'''1.7.5.''' Sea <math>x</math> un conjunto. La función
 
 
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'''1.7.6.''' Sea la función <math>f:x\longrightarrow y</math> de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>;
Si
 
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'''1.7.7.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math>, y sea <math>x_1</math> un subconjunto de <math>x</math> (i.e. un elemento de <math>\mathcal{P}(x) </math>). El conjunto <math>f(x')\subseteq y</math> dado por
 
 
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'''1.7.8.''' Por otra parte, si <math>y_1\subseteq y</math>, entonces se define el conjunto <math>f^{-1}\left[y_1\right] </math> por
 
 
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'''1.7.9.''' Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función <math>f:x\longrightarrow y</math> y dos familias <math>\{x\}_{i\in I}</math> e <math>\{y\}_{j\in J}</math> de subconjuntos de <math>x</math> e <math>y</math> respectivamente. Convenimos también en que <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>y_1</math>, <math>y_2</math> representan, respectivamente, subconjuntos de <math>x</math> y subconjuntos de <math>y</math>.
 
Tenemos que
Línea 176:
<blockquote>
<p>(f) <math>f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1</math>.</p>
</blockquote>
 
 
<blockquote>
<p>(g) <math>y_1\subseteq f\left[x_1\right] </math> implica} <math>f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1</math>.</p>
</blockquote>
 
Línea 215:
 
 
'''1.7.10.''' Sean <math>x</math> e <math>y</math> dos conjuntos y considérese una función <math>f:x\longrightarrow y</math>. Sea <math>x_1</math> un subconjunto de <math>x</math>. La función <math>f|_{x_1}:x_1\longrightarrow y</math> dada por
 
 
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'''1.7.11.''' Sea <math>\{x\}_{i\in I}</math> una familia de subconjuntos de un conjunto <math>x</math>. Es común llamar simplemente ''unión'' de <math>\{x\}_{i\in I}</math> a la unión de los conjuntos del rango de <math>\{x\}_{i\in I}</math>, que se representa por <math>\bigcup_{i\in I}x_i</math> y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por
 
 
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'''1.7.12.''' Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia <math>\{x\}_{i\in I}</math>, que se representa por <math>\bigcap_{i\in I}x_i</math>, se dice simplemente ''intersección'' de <math>\{x\}_{i\in I}</math>. Así pues (véase 1.3.5),
 
 
Línea 242:
 
 
'''1.7.13.''' Sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una aplicación de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>, y sea <math>g:y\longrightarrow z</math> una aplicación de <math>y</math> en un conjunto <math>z</math>. La aplicación
 
 
Línea 258:
 
 
'''1.7.14.''' Sean las funciones <math>f:x\longrightarrow y</math>, <math>g:y\longrightarrow z</math> y <math>h:z\longrightarrow v</math>. Tenemos que <math>f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h</math>. Para convencernos de ello es suficiente ver que
 
 
Línea 270:
 
 
'''1.7.14.''' La función <math>\mathrm{id}_x:x\longrightarrow x</math> dada por
 
 
Línea 291:
 
 
'''1.7.16.''' Si <math>f:x\longrightarrow y</math> es una función biyectiva, puede definirse la función <math>f^{-1}</math>, llamada ''función inversa'' de <math>f</math>, por