Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Unión e intersección de conjuntos»

<p>'''( U-1 )''' <math>x\cup x=x</math> (idempotencia)</p>

<p>'''( U-2 )''' <math>x\cup\empty=x</math> (identidad) </p>

<p>'''( U-3 )''' <math>x\cup y=y\cup x</math> (conmutatividad) </p>

<p>'''( U-4 )''' <math>x\cup(y\cup z)=(x\cup y)\cup z</math> (asociatividad) </p>

<p>'''( U-5 )''' <math>x\subseteq x\cup y</math></p>

<p>'''( U-6 )''' <math>x\subset y</math> si y solo si <math>x\cup y=y</math>

Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de '''( U-2 )''' y '''( U-6 )''':

'''( U-2 )''' Hay que demostrar que todo elemento de <math>x\cup\empty</math> es elemento de <math>x</math> (demostrar que <math>x\cup\empty\subseteq x</math>) y que, recíprocamente, todo elemento de <math>x</math> es elemento de <math>x\cup\empty</math> (demostrar que <math>x\subseteq x\cup\empty</math>). Si <math>a\in x\cup\empty</math>, entonces <math>a\in x</math> o <math>a\in\empty</math>, de lo que solo puede ser <math>a\in x</math>. Recíprocamente, si <math>a\in x</math>, entonces <math>a\in x\cup\empty</math>. Por tanto <math>x\cup\empty=x</math>.

'''( U-6 )''' Supóngase que <math>x\subseteq y</math> pero que <math>x\cup y\neq y</math>. Entonces, en particular, existe <math>a\notin y</math> tal que <math>a\in x\cup y</math>, pero si esto es cierto, <math>a\in x</math>, lo que contradice el hecho de que <math>x\subseteq y</math>. Recíprocamente, si <math>x\cup y=y</math>, entonces de '''( U-5 )''' se sigue el resultado deseado.

<p>'''( I-1 )''' <math>x\cap x=x</math> (idempotencia)</p>

<p>'''( I-2 )''' <math>x\cap\empty=\empty</math></p>

<p>'''( I-3 )''' <math>x\cap y=y\cap x</math> (conmutatividad) </p>

<p>'''( I-4 )''' <math>x\cap(y\cap z)=(x\cap y)\cap z</math> (asociatividad) </p>

<p>'''( I-5 )''' <math>x\cap y\subseteq x</math></p>

<p>'''( I-6 )''' <math>x\subseteq y</math> si y solo si <math>x\cap y=x</math>

<p>'''( UI-1 )''' <math>x\cup(y\cap z)=(x\cup y)\cap(x\cup z)</math></p>

<p>'''( UI-2 )''' <math>x\cap(y\cup z)=(x\cap y)\cup(x\cap z)</math></p>

'''1.3.4.''' Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si <math>C</math> es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de <math>C</math> puede definirse como el conjunto

<center><math>\bigcup_{x\in C}x</math><math>~=\{a |</math> existe <math>x\in C</math> tal que <math>a\in x\}</math>.</center>

'''1.3.5.''' De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección <math>C</math> se define por

<center><math>\bigcap_{x\in C}x=</math><math>~=\{a\mid</math> para todo <math>x\in C,\quad a\in x\}</math>.</center>