Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Unión e intersección de conjuntos»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
Línea 1:
'''1.3.1.''' Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si <math>x</math> e <math>y</math> son dos conjuntos, la ''unión'' de <math>x</math> e <math>y</math> es el conjunto
Línea 31:
'''1.3.2.''' La ''intersección'' de dos conjuntos <math>x</math> e <math>y</math> se define como el conjunto
Línea 40:
[[Imagen:Setsintersection.png|thumb|center|<center><math>x\cap y</math></center>]]
Si <math>x</math> e <math>y</math> son dos conjuntos tales que <math>x\cap y=\empty</math> (i.e. si <math>x</math> e <math>y</math> no tienen elementos en común) se dice que <math>x</math> e <math>y</math> son ''conjuntos disjuntos''.▼
Línea 55 ⟶ 52:
<p>'''(I-6)''' <math>x\subseteq y</math> si y solo si <math>x\cap y=x</math>
</blockquote>
Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:
<blockquote>
<p>'''(UI-1)''' <math>x\cup(y\cap z)=(x\cup y)\cap(x\cup z)</math></p>
<p>'''(UI-2)''' <math>x\cap(y\cup z)=(x\cap y)\cup(x\cap z)</math></p>
</blockquote>
▲'''1.3.3.''' Si <math>x</math> e <math>y</math> son dos conjuntos tales que <math>x\cap y=\empty</math> (i.e. si <math>x</math> e <math>y</math> no tienen elementos en común) se dice que <math>x</math> e <math>y</math> son ''conjuntos disjuntos''.
Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si <math>C</math> es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de <math>C</math> puede definirse como el conjunto
<center><math>\bigcup_{x\in C}x=\{a |</math> existe <math>x\in C</math> tal que <math>a\in x\}</math>.</center>
Así, <math>a\in\bigcup_{x\in C}x</math> si y solo si existe por lo menos un conjunto <math>x</math> en <math>C</math> que contenga al elemento <math>a</math>. Como caso particular, tenemos
<center><math>\bigcup\{x,y\}=x\cup y</math>.</center>
De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección <math>C</math> se define por
<center><math>\bigcap_{x\in C}x=</math><math>\{a\mid</math> para todo <math>x\in C,\quad a\in x\}</math>.</center>
Por tanto, <math>a\in\bigcap_{x\in C}x</math> si <math>a\in x</math> para todo conjunto <math>x</math> de <math>C</math> (i.e. <math>\bigcap_{x\in C}x</math> consiste de los elementos que están en todo conjunto de <math>C</math>). Como caso particular, tenemos
<center><math>\bigcap\{x,y\}=x\cap y</math>.</center>
Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si <math>C=\empty</math>, entonces, puesto que en ese caso <math>x\in\empty</math> implica <math>a\in x</math> para cualquiera que sea el conjunto <math>x</math> y el elemento <math>a</math>, el conjunto <math>\bigcap C</math> lo contiene todo.
| |||