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Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Cálculo en una variable/Límites»

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Ortografía
Línea 1:
Introducción
 
Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.
 
Es preferible comenzar con una función f(x) = x<sup>2</sup>. Sabemos que f(2) = 4.Sin embargo seamos un poco masmás ingeniosos y creemos un "hueco" en ''x'' = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así
 
 
Línea 21:
|}
 
Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que ''L'' es el ''límite'' de una función ''f(x)'' cuando a ''x'' se aproxima a ''c'' si ''f(x)''&nbsp;&asymp;&nbsp;''L'' cuando ''x''&nbsp;&asymp;&nbsp;''c''.
 
Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebráicamentealgebraicamente como sigue
 
:<math>\lim_{x\to c} f(x) = L</math>
Línea 29:
Intuitivamente, el límite ''L'' es simplemente el número al que ''f(x)'' se hace más y más cercana cuando ''x'' se aproxima a ''c'', pero ''f(c)'' no necesita estar definido.
 
Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante, porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pequeña, más y más cercano a cero, cuanto más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir
 
 
Línea 42:
Para ver el poder del límite, vayamos atrás al ejemplo del auto en movimiento del que hablamos en la introducción. Suponga que tenemos un auto cuya posición es lineal con el tiempo. Queremos encontrar la velocidad. Esto es fácil de hacer desde el álgebra, simplemente tomamos la inclinación de la recta distancia contra tiempo para este auto y esta es nuestra velocidad.
 
Pero desafortunadamente (o tal vez afortunadamente si usted es un profesor de cálculo), las cosas en el mundo real no siempre viajan en agradables líneas rectas. Los carros aceleran, desaceleran, y generalmente se comportan en formas que hacen difícil calcular sus velocidades. (figuraFigura 2).
 
Ahora lo que realmente queremos es encontrar la velocidad en un momento dado. (figuraFigura 3). El problema es que para encontrar la velocidad necesitamos dos puntos, mientras que en cualquier tiempo dado, sólo tenemos un punto. Podemos, por supuesto, encontrar siempre la velocidad promedio dedel auto, dados dos puntos en el tiempo, pero queremos encontrar la velocidad del auto en un momento preciso.
 
Acá es donde el truco básico del cálculo diferencial entra. Elegimos un par de puntos en nuestra gráfica de posición contra tiempo, uno en donde queremos hallar la velocidad instantánea y otro en cualquier otro sitio y luego trazamos una línea entre ellos. Empezamos a acercar cada vez más y más este último punto al primero y a trazar sucesivas líneas, entre ellos. En la medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad instantánea.
 
== Definición formal de límite ==
 
La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente quequé es lo que nos dicen en forma tan suscintasucinta.
 
Decimos que el límite de ''f''(''x'') cuando ''x'' tiende a ''c'' es igual a L o
Línea 65:
 
Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de ''x'' bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(''x'') y que se define de la siguiente forma
:E(''x'') = [''x''], donde [''x''] es el mayor [[:m:w:es:N%FAmero_entero|número entero]] inferior o igual a ''x'', tal que, E(''x'') &le; ''x'' < E(''x'') + 1.
 
[[Archivo:Floor function.svg|center|thumb|250px|Función piso.]]
Línea 73:
=== Límite por la derecha ===
 
El límite por la derecha de f(''x'') cuando ''x'' tiende a ''a'' por la derecha es igual a ''L'', si &forall;&epsilon;>0, existe un &delta; > 0 tal que si 0 < x - a < &delta;, entocesentonces |f(''x'') - L| < &epsilon;. Lo anterior se denota como:
 
:<math>\lim_{x \to a^+}f(x)= L</math>
Línea 83:
:<math>\lim_{x \to a^-}f(x)= L</math>
'''TEOREMA'''
Existe el límite si y solo si los dos limiteslímites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden
 
Nota:aunque también es validoválido si consideramos que el límite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.
 
== Teoremas fundamentales sobre límites ==
Línea 127:
{{ecuación|1=<math> \lim_{x \to c} f(x) =\, L_1 \, ; \lim_{x \to c} g(x) =\, L_2 \,</math>|3=center }}
 
Por lo tanto, segunsegún la definición de límite, tiene que haber un <math>\delta \,</math> para todo <math>\epsilon \,</math> tal que:
 
{{ecuación|1=<math>0<|x-c|<\delta \longrightarrow|(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)| < \epsilon </math>|2=2|3=center}}
Línea 178:
El teorema de intercalación, más coloquialmente llamado teorema del emparedado, es útil cuando queremos hallar el límite de una función que se encuentra "confinada" por dos funciones que ya conocemos.
 
Si <math>f(x) \le g(x) \le h(x)</math> y
<math>\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L</math>, entonces <math>\lim_{x \to c} g(x) = L</math>
 
Línea 198:
 
== Límites infinitos ==
Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crezcacrece o decrezcadecrece
pero sin dejar atrasatrás la definiciondefinición de limitelímite entonces en conclusionconclusión se podría determinar que la función se acercaría al limitelímite por un infinito de números pero nunca tocando el limite límite
 
'''Definición 1'''
 
Sea ''f'' una función que estaestá definida en todo número de algún intervalo abierto (''a'',+∞). El limitelímite de ''f''(x) cuando x crece sin limitelímite, es ''L'' lo que se escribe como:
 
<math>\lim_{x\to +\infty} f(x) = L</math>
Línea 210:
'''Definición 2'''
 
Sea ''f'' una función que estaestá definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de ''f''(x) cuando ''x'' decrece sin limitelímite, es ''L'', lo que se escribe como
 
 
Línea 218:
'''Teorema'''
 
Sea n cualquier entero positivo, entonces
:<math>\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n} =0</math>
:<math>\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n} =0</math>
Línea 238:
Como podemos comprobar, los términos se van haciendo cada vez menores, por lo que es de esperar que, de existir realmente un último término de la sucesión, éste sería 0. Esto nos da una idea intuitiva de lo que significa el límite de una sucesión cuando tiende a infinito; ésto es, aventurar de algún modo a qué valor se acercan los términos de la sucesión según vamos avanzando sobre la misma.
 
Con la sucesión anterior, podemos escribir <math>\lim_{n \to \infty}a_n = 0</math>, y de hecho, nos podemos tomar la siguiente licencia:
<math>\lim_{n \to \infty}a_n = \frac{1}{\infty} = 0</math>.
 
Línea 250:
 
 
Es importante de cara al cálculo de límites al infinito tener en mente algunas igualdades que implican aal infinito. Debemos, además, recordar siempre que infinito no es un número, sinó un concepto. Nos referimos a infinito como aquello que es inabarcable o inabastable, pero mediante un inofensivo abuso de lenguaje podemos valernos de él para efectuar operaciones:
 
 
<math>\frac{k}{\infty} = 0</math>, <math> \forall k \ne \infty</math>
 
 
<math>\frac{k}{0} = \infty </math>, <math>\forall k \ne 0</math>
 
 
Línea 282:
Restando las fracciones A y B resulta (3x<sup>3</sup>-7x<sup>2</sup>-10x+12)/240; factorizando se obtiene (x-3)(3x<sup>2</sup>+2x-4)/240; luego combinando con el denominador original (x-3) se tiene
 
:::(x-3)(3x<sup>2</sup>+2x-4)/240(x-3) simplificando , aparece (3x<sup>2</sup>+2x-4)/240, tomando límite cuando x tiende a 3 , sale
 
:::<math> L= 29/240</math> <ref>''Compulsando Límites'' de Xilef Aryen, ediciones Yachay de Sociedad Matemática Peruana (2013)</ref>
Línea 300:
 
;Caso 2. El punto c es infinito
Sea el caso, calcular el límite de <math>\sqrt[n]{f(x)}</math> - g(x), cuando x tiende a infinito; se admiten que f y g son funciones algebraicas o, en en le mejor de los casos, polinómicas, que además tienden a infinito. Resulta la indeterminación infinito - infinito.Se supone que dicho límite de la diferencia existe y es igual a <math>L</math>
 
En este caso, es lo mismo hallar el límite de [<math>f(x)- (g(x))^n</math>]/n(g(x))<sup>n-1</sup> y se obtiene el límite <math>L</math>, que aunaún puede ser infinito <ref> Aryen: Op.cit</ref>
 
== Indeterminaciones ==
Línea 314:
\infty ^0 , \quad
1^\infty , \quad
0^0
</math>
 
A estas expresiones se les denomina '''indeterminaciones''', ya que, a simple vista, no está claro cualcuál puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la [[regla de l'Hôpital]].
 
=== Ejemplos ===
Un ejemplo de indeterminación del tipo <math>\textstyle \frac{0}{0}</math> es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :
 
Línea 325:
 
<math>\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty</math>
 
<math>\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1</math>
 
Línea 389:
no está definido
 
Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función ''g'' tan grande como queramos, escogiendo un ''x'' suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer <math>g(x)</math> igual a un millón, escogemos que ''x'' sea 10<sup>-6</sup>. En este caso decimos que podemos hacer ''g''(''x'') arbitrariamente grande (tan grande como queramos) tomando un ''x'' que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto algebráicamentealgebraicamente como sigue:
 
:<math>\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac {1}{x} = \infty</math>
Línea 404:
# <math>\lim_{x\to c^+} f(x) = \pm \infty </math>
 
Vale la pena hacer énfasis en que en ''c'' el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tegamostengamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a ''c'' bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).
 
=== Asíntota Horizontal ===
Línea 454:
'''INTERVALO CERRADO'''
 
:Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a.b], es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en el intevalointervalo (a,b), así como continuacontinúa por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
 
=== De funciones compuestas ===
Línea 462:
Una '''discontinuidad''' es un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, la función <math>f(x) = \frac {x^2-9} {x-3}</math> se considera que tiene una '''discontinuidad removible''' en <math>x = 3</math>.
 
¿Por qué la llamamos 'removible'? Porque, si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener <math>f(x) = x + 3</math>, excepto en <math>x = 3</math>. Si hacemos que ''f''(''x'') sea 6 en ese punto, obtenemos la función continua:
 
:<math>g(x) = \left\{\begin{matrix} x + 3, & \mbox{si }x \ne 3 \\ 6, & \mbox{si }x = 3 \end{matrix}\right. </math>
Línea 472:
== Encontrando límites ==
 
Ahora nos concentraremos en encontrar los límites, en lugar de probarlos. En las pruebas anteriores, empezamos con el valor del límite. ¿Cómo encontramos dichoese límite para empezar nuestras pruebas?
 
Primero, si la función es continua en un punto particular ''c'', el límite es simplemente el valor de la función en ''c'', debido a la definición de continuidad. Todas las funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales son continuas sobre sus dominios.
Línea 478:
Si la función no es continua en ''c'', entonces en muchos casos (como con las funciones racionales) la función es continua alrededor, pero es discontinua en un punto aislado. En este caso, queremos encontrar una función similar, excepto que el "agujero" que antes representaba la discontinuidad ahora está "relleno". El límite de esta función en ''c'' será el mismo, como puede ser visto de la definición de límite. La función es la misma que la anterior excepto en el punto ''c''. La definición de límite depende de ''f''(''x'') sólo en los puntos donde 0&nbsp;<&nbsp;|''x''&nbsp;-&nbsp;''c''|&nbsp;<&nbsp;&delta;. Cuando ''x''&nbsp;''c'', la desigualdad es falsa, y así el límite en ''c'' no depende del valor de la función en ''c''. Por tanto, el límite es el mismo. Y puesto que nuestra nueva función es continua, ahora podemos sólo evaluar la función en ''c'' como antes.
 
FinalmanteFinalmente, note que nuestro límite podría no existir del todo. Hay muchas formas en que esto puede ocurrir:
 
<!-- Aquí son muy necesarios unos gráficos. Hace falta un buen método para generarlos. -->
Línea 486:
:<math>f(x) = \sqrt{x^2 - 16}</math>
 
''f''&nbsp;(''x'') no tiene ningún límite cuando -4&nbsp;&le;&nbsp;''x''&nbsp;&le;&nbsp;4. No hay manera de "aproximarse" al medio del gráfico. Nótese que la función no tiene límites en los extremos de las dos curvas generadas (en x&nbsp;=&nbsp;-4 y x&nbsp;=&nbsp;4). Para que exista un límite, el punto debe ser aproximable desde ''ambos'' derecha e izquierda. Nótese tambientambién que no existe límite en un punto completamente aislado de un gráfico.
 
'''"Salto"''': Se sigue de nuestra discusión previa que si el gráfico salta de repente a un nivel diferente (creando una discontinuidad), el límite no existe. Esto se ilustra con la función escalón unitario (en la cual el valor de la salida es el entero más grande no mayor al valor de entrada).
Línea 495:
:<math>f(x) = {1 \over x^2}</math>
 
laLa gráfica se hace arbitrariamente alta cuando 'x' se aproxima a 0. El límite no existe.
 
'''Oscilación infinita''': Las dos siguientes pueden ser un poco truculentas para visualizar. En ésta, nos referimos a una gráfica que continuamente alcanza puntos arriba y abajo de una línea horizontal. De hecho, hace esto infinitamente en la medida en que nos aproximamos a un cierto valor ''x''. Esto significa a menudo que no hay límite, puesto que el gráfico nunca se establece en un valor particular. Sin embargo, si la altura (y profundidad) de cada oscilación disminuye cuando el gráfico se aproxima al valor ''x'', de modo que las oscilaciones se hagan arbitrariamente pequeñas, entonces podría haber de hecho un límite.
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