Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Operaciones»
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== Productos Múltiples, Potencias ==
Los lectores seguramente han visto anteriormente sumatorias de números,
<center><math>\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + \dots + a_n.</math></center>
'''Operaciones Generalizadas.''' Supongamos que tenemos un magma <math><E,*></math> y una sucesión <math>a_1, a_2, \ldots,a_n</math> de elementos de ''E''.
Supongamos que queremos hallar el producto de todos ellos. En el texto, hemos
aprovechado la experiencia manipulativa de los lectores para no preocuparnos
demasiado de ese asunto. La situación es que, por definición, nuestra operación
es binaria por lo que no hay como hallar, sin un convenio previo, el producto de una sucesión con más de dos elementos.
Si tuviéramos tres elementos, digamos ''a'', ''b'' y ''c'', podríamos formar producto con los tres de una de las siguientes maneras
{{Eqn|<math>a * (b*c), \quad (a*b)*c</math>}}
Notemos que los paréntesis se usan para agrupar dos a la vez. Cuando la
operación es asociativa, ambas expresiones representan al mismo elemento.
Pero, si la operación no fuera asociativa, ¿cuál de las dos sería el producto de
esos tres elementos?
Cuando hay cuatro elementos, hay muchas más posibilidades de agrupamientos,
dos a la vez.
Definiremos una noción análoga a las sumatorias para un producto de una sucesión cualquiera.
{{DefRht|Producto Generalizado| Sea <E,*> un magma y sea <math>a_1, a_2,
\dots, a_n</math>. Llamamos '''producto''' de los elementos de la sucesión (en el
orden indicado) al elemento de E, denotado por <math>\prod_{i=1}^n a_i</math> y definido como
<center><math>a_1 * a_2*\dots*a_n=\prod_{i=1}^n a_i := \begin{cases}
a_1 & \text{si } n = 1 \\
(\prod_{i=1}^k a_i)*a_{k+1}& \text{si } n = k+1
\end{cases}</math></center>
}}
Es fácil ver, por inducción, de que efectivamente se ha definido un elemento de
''E''.
Sigue de la definición que
<ul>
<li> (<math>n=2</math>) <math>a_1*a_2 = (a_1)*a_2 = a_1 * a_2.</math>
<li> (<math>n=3</math>) <math>a_1*a_2*a_3 := (a_1*a_2) * a_3.</math>
<li> (<math>n=4</math>) <math>(a_1*a_2*a_3)* a_4 = ( (a_1*a_2) * a_3)*a_4.</math>.
</ul>
Notemos que la definición no requiere que la operación sea asociativa.
Cuando la operación sea asociativa, se puede probar que podemos reagrupar como queramos los elementos de la sucesión. Por ejemplo,
<center><math>a_1* \dots * a_5= a_1* (a_2 * a_3) * (a_4 * a_5) = a_1* (a_2 * a_3 * a_4) * a_5.</math></center>
Cuando la operación sea además conmutativa, el producto multiple es el mismo para cualquier permutación (reordenamiento) de los índices.
Cuando la operación tenga neutro <math>e</math>, se acuerda que <i>el producto de una sucesión vacía es igual al elemento neutro</i>.
En notación aditiva, la definición anterior es la usual definición de ''sumatoria''
{{Eqn|<math>\sum_{i=1}^n a_i := \begin{cases}
a_1 & \text{si } n = 1 \\
(\sum_{i=1}^k a_i) + a_{k+1} & \text{si } n = k+1.
\end{cases}</math>}}
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'''Asociatividad.''' Cuando la operación es asociativa, se puede probar que
independiente de la manera que agrupemos los elementos de la sucesión--siempre y cuando, mantengamos el orden de aparición---el producto siempre es el mismo.
:La demostración consiste en considerar particiones de [1,..,n] que preserven el orden y mostrar que el producto de <math>a_1, \dots, a_n</math> es igual al
producto de los productos parciales.
:Por ejemplo, en el caso <math>n=7</math> si tenemos 1,2|3,4,5|6,7. Entonces
deberíamos probar que <math>\prod_{i=1}^3b_i = \prod_{i=1}^7 a_i</math>,
donde
<math>b_1=a_1*a_2,\quad b_2 = a_3*a_4* a_5,\quad b_3 =
a_6*a7.</math> Es decir que
<center><math>\underbrace{(a_1*a_2)}_{b_1} *
\underbrace{(a_3*a_4*a_5)}_{b_2}* \underbrace{(a_6*a_7)}_{b_3} = \prod_{i=1}^7 a_i. </math></center>
:La demostración formal procede por inducción sobre ''n''. Los lectores
experimentados con este tipo de demostraciones puede intentarlo por su cuenta.
La demostración formal se puede hallar en las referencias bibliográficas <ref>(BB) [[../Bibliografía|Bourbaki]]</ref>, <ref>(BB) [[../Bibliografía|Dubreil]]</ref> o <ref>(BB) [[../Bibliografía|Jacobson]]</ref>.
También en la página [[Álgebra/Teoría de grupos/Grupos|Semigrupos,
Monoides,...]] de WikiLibros, donde puede hallarse demostraciones tanto de la
asociatividad como de la conmutatividad generalizadas.
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Al igual que hay sumatorias de la forma <math>\sum_{i=5}^{20} a_i</math>, podemos definir productos multiples de sucesiones de elementos cuyos subíndices sean un subconjunto ordenado finito de <math>\N</math>. Dejaremos al cuidado de lectores y lectoras tales generalizaciones.
En cursos primeros de matemáticas, se define la potencia natural de un número <math>a</math> como el producto de <math>a</math> consigo mismo <math>n</math> veces, denotado por <math>a^n</math>. Usando la definición de producto multiple definiremos <math>a^n</math> como el producto de <math>n</math> factores, todos ellos iguales a <math>a</math>.
{{DefRht|Potencia| Sean <math>*</math> una operación en el conjunto <math>E</math>, <math>a</math> un elemento de <math>E</math>, y <math>n</math> un natural positivo. Definimos <math>a^n</math> como el producto <math>a_1*a_2* \dots *a_n</math>, cuando <math>a_1=a_2 = \cdots a_n =a</math>. Cuando la operación tiene neutro <math>e</math>, se define, además, <math>a^0:= e</math>
}}
<b>Observación.</b> Sigue de la definición que <math>a^1=a</math>, <math>a^{k+1} = a^k* a</math>.
<b>Proposición ## (Propiedades de las Potencias) </b> <i>
Sea <math>*</math> una operación asociativa en <math>E</math>, <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>E</math>, <math>m</math> y <math>n</math> naturales positivos.
<ol type = "a">
<li> <math>a^{m+n} = a^m*a^n</math>.
<li> <math>a^{mn} = (a^m)^n</math>.
<li> Si <math>a*b=b*a</math>, <math>a*b^n = b^n *a</math>.
<li> Si <math>a*b=b*a</math>, <math>(a*b)^m =a^m*b^m</math>.
<li> Si la operación tiene neutro <math>e</math>, las relaciones anteriores son válidas para naturales cualesquiera. Además se cumple que <math>e^n=e</math>, para todo natural.
</ol></i><br />
<i>
Demostración </i> Aprovechando la observación anterior, usaremos inducción sobre <math>n</math> para las pruebas.
<ol type = "a">
<li> (<math>n=1</math>) <math>a^{m+1}=a^m*a =a^m*a^1</math>. Suponiendo que <math>a^{m+k} =a^m*a^k</math><br \>
<math>a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = (a^m*a^k)*a = a^m*(a^k*a) = a^m*a^{k+1}</math>.
<li> <math>(a^m)^1=a^m =a^{m\cdot 1}</math>. Suponiendo que <math>(a^m)^k = a^{mk}</math>. <br \>
<math>(a^m)^{k+1}= (a^m)^k*a^m = a^{mk}*a^m = a^{mk+m}=a^{m(k+1)}</math>.
<li> <math>a*b^1=a*b = b*a = b^1*a</math>. Suponiendo que <math>a*b^k=b^k*a</math>,<br \>
<math>a*b^{k+1}=a*(b^k*b) = (a*b^k)*b =(b^k*a)*b=b^k*(a*b)=b^k*(b*a)=(b^k*b)*a=b^{k+1}*a</math>.
<li> <math>(a*b)^1 = a*b=a^1b^1</math>. Suponiendo que <math>(a*b)^k =a^k*b^k</math>,
<math>(a*b)^{k+1}=(a*b)^k*(a*b) = (a^k*b^k)*(a*b) = a^k*(b^k*a)*b = a^k*(a*b^k)*b= (a^k*a)*(b^k*b)=a^{k+1}b^{k+1}</math>.
<li> Ejercicio.
</ol>
{{QED}} <hr>
== Ejercicios del Capítulo ==
<ol>
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elementos?, ¿cuántas son conmutativas?
</ol> <!-- Final de los Ejercicios. -->
== Notas ==
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