Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Operaciones»

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{{Ejmpl|Ejemplo 4.1. (Las tablas de <math>\Z_6</math>)}}
ElSabemos símboloque <math>\Z_mZ_6</math> indicatiene asolamente losseis Enteroselementos, módulo m. Posiblemente,a lossaber
lectores seguramente conocen a estos objetos que provienen de considerar las
congruencias módulo m. Más adelante, habrá una exposición detallada de estos
importantes objetos matemáticos. Por ahora, lo básico es que se trata de conjuntos construidos a partir de los Enteros, con las operaciones de suma, resta y multiplicación, pero agregando que m = 0 (eso es lo que módulo significa).
Presentamos, ahora, esos ''números'' porque nos servirán para ilustrar ciertas nociones. Trabajaremos, aquí, con m=6 para simplicidad de la exposición. La generalidad para otros casos seguirá de una cuidadosa observación de lo que haremos.
 
En primer lugar, se tiene que <math>\Z_6</math> tiene solamente seis elementos, a saber
{{Eqn|<math>\Z_6 = \{0,1,2,3,4,5\}.</math>}}
¿Por qué? La forma más simple de ver lo anterior es tomar un entero n cualquiera y considerar su división por 6. Esto produce un cociente q y un residuo r tales que
{{Eqn|<math> n = 6q + r, \qquad\text{ con }\quad 0 \le r < 6.</math>|*}}
Como suponemos que 6 = 0, la relación (*) se reduce a n = r. Los elementos de
<math>\Z_6</math> son precisamente los residuos de la división por 6.
 
Una vez establecido lo anterior es fácil hacer aritmética con enteros-módulo-6. Por ejemplo<br />
<center>2+3 = 5, 4+3 =1 (ya que 7 = 6 +1), 5*5 =1 (25= 6*4 +1, etc.</center>
 
Presentamos las tablas de la operaciones como ejemplos de tablas finitas. Queda
de asignación verificar la corrección de las mismas.