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Línea 558: Por ejemplo, cuando <math> m=5</math>, se tiene que <math> 2+2=4</math>, <math> 2+3=5=0</math>, <math> 2+6=5+1=1</math>, etc. Además, se tiene que <math> 12=7=2</math>, ya que <math> 12 = 7 + 5 =7 = 5 + 2=2</math>. Sea <math> x</math> un entero cualquiera, dividiendo por <math> m</math> se obtiene un cociente <math> q</math> y un residuo <math> r</math>, <math> 0 \le r <m</math>, tal que <math>x = qm +r.</math> Por lo que en <math> \Z_m= r</math>. Es decir que en <math> \Z_m</math> hay solamente tantos elementos como residuos en la división por <math> m</math>, o sea <math> 0,1,2,\dots , m-1</math>. Las operaciones de <math> \Z_m</math>, por ser las operaciones en los enteros, son asociativas, conmutativas, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma Notemos, que <math> x + (m-x) = m=0</math>, lo que implica que cada elemento <math> x</math> de <math> \Z_m</math> tiene un opuesto aditivo. En <math> \Z_5</math>, el elemento 2 tiene inverso multiplicativo 3, ya que <math> 2 \cdot 3 = 6 =1</math>. Como se verá en ejemplos y ejercicios posteriores, no siempre elementos de <math> \Z_m</math> tienen recíprocos. Por ejemplo en <math> Z_4</math>, <math> 20=0</math>, <math> 21=2</math>, <math> 22=0</math>, <math> 23=2</math>, lo que muestra que <math> 2</math> no tiene inverso multiplicativo. === Ejercicios === <ol> ~~<li> Llamamos Enteros módulo <math>m</math> al conjunto denotado por~~ <li> Sea <math>\Q[\sqrt{5}]</math> el conjunto de números reales de la forma <math>p+q\sqrt{5}</math>, donde <math>p</math> y <math>q</math> son números racionales. ~~<math>\Z_m</math> con operaciones de suma y multiplicación como en los~~ Probar que la suma y el producto de dos números de esa forma son de la misma forma. Probar que <math>p+q\sqrt{5}</math>. tiene un recíproco de la misma forma, cuando <math>p</math> y <math>q</math> no son ambos nulos.<li> (Enteros módulo <math>m</math>) ~~Enteros usuales, pero con el agregado de que <math>m=0</math>.~~ <ol type="a"> <li> En <math>\Z_6</math>, con la multiplicación. ¿Cuáles elementos tienen Línea 582: </ol> <li> Probar que si para un elemento <math>x</math> de un magma <math>E</math> se cumple que <math>x^2=e</math>, donde <math>e</math> es ~~<math>E</math> se cumple que <math>x^2=e</math>, donde <math>e</math> es~~ un neutro. Entonces, <math>x</math> es invertible.

Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Operaciones»