Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Operaciones»

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* Las funciones biyectivas, por ser inyectivas y suprayectivas son cancelables por izquierda y derecha. De hecho, son invertibles.
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=== Ejemplo. Los Enteros Módulo <math>m</math> ===
 
Sea <math> m</math> un número entero positivo. Llamamos <i>enteros módulo <math> m</math></i> al conjunto denotado por <math> \Z_m</math> y que está formado por los enteros, pero sujeto a la condición <math> m=0</math>. Las operaciones de suma, resta y multiplicación son aquellas de los enteros son aquellas de los enteros, pero computadas usando la condición indicada.
 
Por ejemplo, cuando <math> m=5</math>, se tiene que <math> 2+2=4</math>, <math> 2+3=5=0</math>, <math> 2+6=5+1=1</math>, etc. Además, se tiene que <math> 12=7=2</math>, ya que <math> 12 = 7 + 5 =7 = 5 + 2=2</math>.
 
Sea <math> x<math> un entero cualquiera, dividiendo por <math> m<math> se obtiene un cociente <math> q<math> y un residuo <math> r</math>, <math> 0 \le r <m</math>, tal que <math>x = qm +r.</math>
 
Por lo que en <math> \Z_m= r</math>. Es decir que en <math> \Z_m<math> hay solamente tantos elementos como residuos en la división por <math> m</math>, o sea <math> 0,1,2,\dots , m-1</math>.
 
Las operaciones de <math> \Z_m</math>, por ser las operaciones en los enteros, son asociativas, conmutativas, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma
 
Notemos, que <math> x + (m-x) = m=0</math>, lo que implica que cada elemento <math> x<math> de <math> \Z_m<math> tiene un opuesto aditivo.
 
En <math> \Z_5</math>, el elemento 2 tiene inverso multiplicativo 3, ya que <math> 2 \cdot 3 = 6 =1</math>. Como se verá en ejemplos y ejercicios posteriores, no siempre elementos de <math> \Z_m<math> tienen recíprocos. Por ejemplo en <math> Z_4</math>, <math> 2*0=0</math>, <math> 2*1=2</math>, <math> 2*2=0</math>, <math> 2*3=2</math>, lo que muestra que <math> 2<math> no tiene inverso multiplicativo.
 
=== Ejercicios ===