Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Operaciones»

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Línea 189:
<li> Verificar que <math>\oplus</math> is asociativa.
Sean <math>\alpha = (a_1,a_2)</math>, <math>\beta = (b_1,b_2)</math> y <math>\gamma=(c_1,c_2)</math> tres elementos cualesquiera de <math>\Z^2</math>.
 
<center><math>
 
\begin{array}{rcl}
\alpha + (\beta + \gamma) &=& (a_1,a_2) + ((b_1,b_2) + (c_1,c_2)) \\
&=& (a_1,a_2) + (b_1c_1 + 2 b_2c_2, b_1c_2+b_2c_1) \\
&=&(a_1(b_1c_1 + 2 b_2c_2) + 2a_2(b_1c_2+b_2c_1), \\
& &\qquad a_1(b_1c_2+b_2c_1)+a_2(b_1c_1 + 2 b_2c_2)) \\
&=&(a_1b_1c_1 +2a_1b_2c_2+2a_2b_1c_2+2a_2b_2c_1, \\
& &\qquad a_1b_1c_2+a_1b_2c_1+2a_2b_1c_1+2a_2b_2c_2).
\end{array}
</math></center>
 
<br />
<center><math>
\begin{array}{rcl}
Línea 206 ⟶ 210:
& & \qquad(a_1b_1+2a_2b_2)c_2 + (a_1b_2+a_2b_1)c_1) \\
&=& (a_1b_1c_1 + 2a_2b_2c_1 + 2a_1b_2c_2 + 2a_2b_1c_2, \\
& &\qquad a_1b_1c_2 +2a_2b_2c_2 + a_1b_2c_1 + a_2b_1c_1)\\
\end{array}
 
</math> </center>
Lo que prueba la asociatividad.
Línea 217 ⟶ 220:
 
\begin{array}{rcl}
\alpha + \beta &:=& (a_1,a_2) \oplus (a_2,b_2) = (a_1+b_1,a_2+b_2)\\
\beta+\alpha &:=& (a_2,b_2) \oplus (a_1,b_1)=(a_2+b_2, a_1+b_1)
\end{array}
 
</math></center>
Como la suma de enteros es conmutativa, los pares ordenados a la derecha son iguales, lo que prueba la conmutatividad.