Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Operaciones»
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Línea 152:
<math>(a * b) * c</math>, producirán el mismo valor. Por esa razón, cuando la
operación es asociativa, podemos eliminar los paréntesis.
{{Ejmpl|Ejemplo 1.7}}
Definamos una operación <math>\oplus</math> en los Enteros, por <math>a\oplus b:= a+b+ab</math>.
Línea 177 ⟶ 176:
a</math>,
o sea que la operación <math>\oplus</math> es conmutativa.
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo 1.8}}Sea <math>\Z^2</math> el conjunto formado por todos los pares ordenados de números enteros. Definamos una operación <math>\oplus</math> en <math>\Z^2</math> por
<center><math>(m,n) \oplus (p,q) := (ac+2bd, ad+bc).</math></center>
<ol>
<li> Evaluate <math>(3,-1) \oplus (5,2)</math>.
<center><math>
(3,-1) \oplus (5,2) = (3*5 + 2 *(-1)*2, 3*2+(-1)*5) = (11,1).
</math></center>
<li> Verificar que <math>\oplus</math> is asociativa.
Sean <math>\alpha = (a_1,a_2)</math>, <math>\beta = (b_1,b_2)</math> y <math>\gamma=(c_1,c_2)</math> tres elementos cualesquiera de <math>\Z^2</math>.
<center><math>
\begin{array}{rcl}
\alpha + (\beta + \gamma) &=& (a_1,a_2) + ((b_1,b_2) + (c_1,c_2)) \\
&=& (a_1,a_2) + (b_1c_1 + 2 b_2c_2, b_1c_2+b_2c_1) \\
&=&(a_1(b_1c_1 + 2 b_2c_2) + 2a_2(b_1c_2+b_2c_1), \\
& \qquad a_1(b_1c_2+b_2c_1)+a_2(b_1c_1 + 2 b_2c_2)) \\
&=&(a_1b_1c_1 +2a_1b_2c_2+2a_2b_1c_2+2a_2b_2c_1, \\
& \qquad a_1b_1c_2+a_1b_2c_1+2a_2b_1c_1+2a_2b_2c_2).
\end{array}
</math></center>
<center><math>
\begin{array}{rcl}
(\alpha + \beta) + \gamma &=& ((a_1,a_2) + (b_1,b_2)) + (c_1,c_2) \\
&=& (a_1b_1+2a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1) + (c_1,c_2)\\
&=&((a_1b_1+2a_2b_2)c_1+2(a_1b_2+a_2b_1)c_2, \\
& & \qquad(a_1b_1+2a_2b_2)c_2 + (a_1b_2+a_2b_1)c_1) \\
&=& (a_1b_1c_1 + 2a_2b_2c_1 + 2a_1b_2c_2 + 2a_2b_1c_2, \\
& &\qquad a_1b_1c_2 +2a_2b_2c_2 + a_1b_2c_1 + a_2b_1c_1)
\end{array}
</math> </center>
Lo que prueba la asociatividad.
<li> Veamos ahora que <math>\oplus</math> es conmutativa.
<center><math>
\begin{array}{rcl}
\alpha + \beta := (a_1,a_2) \oplus (a_2,b_2) = (a_1+b_1,a_2+b_2)\\
\beta+\alpha :=(a_2,b_2) \oplus (a_1,b_1)=(a_2+b_2, a_1+b_1)
\end{array}
</math></center>
Como la suma de enteros es conmutativa, los pares ordenados a la derecha son iguales, lo que prueba la conmutatividad.
</ol>
<hr>
==== Ejercicios ====
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