Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»
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<b>Observación. </b> Asociado a <math>G</math>-conjuntos, tenemos la noción de <math>G</math>-subconjunto. Un subconjunto <math>Y</math> de un <math>G</math>-conjunto <math>X</math> es un <math>G</math>-subconjunto, ssi, para todo <math>g</math> en <math>G,</math> <math>y</math> en <math>Y,</math> <math>g \cdot y</math> está en <math>Y</math>. También, decimos que <math>Y</math> es '''G-invariante'''.
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}}
<ul>
<b>Observación. </b> Claramente, la identidad es un <math>G</math>-morfismo y la composición de dos <math>G</math>-morfismos es un <math>G</math>- morfismo.▼
▲<
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</ul>
Como se cumple que <math>x \mapsto g x \mapsto g^{-1}(g \cdot x) = e x = x,</math> se tiene que cada función <math>x \mapsto gx</math> es invertible. Es decir que podemos definir de manera natural una función
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Es decir que hay una correspondencia, que se puede probar que es biyectiva, entre acciones de <math>G</math> sobre <math>X</math> y las representaciones (homomorfismos) de <math>G</math> en <math>\textsf{S}_X.</math> (Representación permutacional del grupo.)
La última correspondencia nos dice también que si <math>X</math> es un <math>G</math>-conjunto y hay un homomorfismo de grupos <math>\rho : G' \longrightarrow G,</math> <math>X</math> es también un <math>G'</math>- conjunto, vía la composición de homomorfismos.
En particular, cuando <math>H</math> sea una subgrupo de <math>G,</math> cada <math>G</math>- conjunto tendrá una estructura de <math>H</math>-conjunto, vía la inclusión, a la que llamaremos la ''restricción de la acción de G a H.''
<div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem">
<span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Órbita, Grupo de isotropía)</span>
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</div>
Es fácil verificar que <math>G_x</math> es un subgrupo de <math>G</math> (de ahí el nombre de grupo). En efecto,
<center><math>\begin{array}{rcl}
(gh)x & = & g(hx) = gx = x \quad \text{y} \\
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