Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Lógica/Cuantificador»
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Definiremos los '''Cuantificadores''', elementos matemáticos importantes para la continuación en el estudio de la lógica proposicional.
'''Objetivos'''
* Conocer los cuantificadores '''universal''' y '''existencial'''
* Aplicar los cuantificadores para la determinación de validez de oraciones
=== Cuantificadores ===
A diferencia de las [[Proposiciones|proposiciones simples]], las [[Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad|proposiciones compuestas]]
y los [[Argumentos|argumentos]], existen enunciados que se llaman '''abiertos''', pues no pueden, a priori, ser relacionados con un valor de verdad verdadero o falso.
Por ejemplo, el enunciado <math> x>3 </math> no es ni verdadero ni falso. Entonces, es un enunciado abierto.
Cuando la variable <math> x </math> es reemplazada por ciertos valores, podemos darle un valor de verdad.
* Si <math> x=7 </math>, el enunciado es una proposición con valor de verdad verdadero.
* Si <math> x=3 </math>, el enunciado es una proposición con valor de verdad falso.
===Conjunto de Verdad===
La colección de objetos que al emplearlos en lugar de las variables en un enunciado abierto, hacen que éste se convierta en una proposición verdadera, se llama '''conjunto de verdad''' del enunciado.
Antes de determinar el conjunto de verdad de un enunciado es necesario saber cuáles objetos están disponibles para tomados en cuenta. Es decir, debemos haber especificado un universo de discurso.
Por ejemplo, para le enunciado <math> P(x): x^2=4 </math>, si tomamos el conjunto universo como el conjunto de los números reales, entonces el conjunto de verdad de <math> P(x) </math> es el conjunto <math> \{-2,2\} </math>
En cambio, si para el mismo enunciado consideramos el conjunto universo como el conjunto de los números naturales, entonces el conjunto de verdad para <math> P(x) </math> es el conjunto <math> \{2\} </math>.
También, si consideramos el conjunto universo como los números impares, entonces el conjunto de verdad para el enunciado <math> P(x) </math> es el '''conjunto vacío''', denotado por el símbolo <math> \varnothing </math>.
De esta manera, un enunciado <math> P(x) </math> se convierte en una proposición cuando la variable <math> x </math> toma un valor determinado <math> a </math>.
Introduciremos, entonces, lo que es un '''cuantificador''', que usaremos como herramienta para modificar un enunciado <math> P(x) </math> en una proposición <math> P(a) </math>.
Para un enunciado <math> P(x) </math>, con <math> x </math> variable, tenemos dos casos:
* El enunciado <math> \forall x, P(x) </math> se lee ``'''para todo <math> x, P(x) </math>'''´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para <math> P(x) </math> es el conjunto universo completo.
El símbolo <math> \forall </math> se llama '''cuantificador universal'''.
* El enunciado <math> \exists, P(x) </math> se lee ``'''existe <math> x </math> tal que <math> P(x) </math>'''´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para <math> P(x) </math> no es vacío (es decir, existe al menos un elemento que cumple con el enunciado).
El símbolo <math> \exists </math> se llama '''cuantificador existencial'''.
'''Ejemplos'''
# El enunciado <math> \exists x,x>3 </math> es verdadero, pues al menos un valor de <math> x </math> en los números reales cumple tal afirmación. Tomar, por ejemplo, <math> x=4 </math>.
# El enunciado <math> \forall x,x>3 </math> es falso, pues en los números reales no todos los números son mayores que 3. Por ejemplo, considerar el valor <math> x=2 </math>.
# El enunciado <math> \exists x,x^2=-1 </math> es falso, pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado pueda dar un valor negativo.
# El enunciado <math> \forall x, x+2>2 </math> es verdadero, pues siempre el lado izquierdo de la inecuación será mayor que el lado derecho, independiente del valor que tome <math> x </math>.
'''Un cuantificador especial'''
Para un enunciado abierto <math> P(x) </math>, la proposición <math> \exists !x,P(x) </math> se lee '''existe un único <math> x </math> tal que <math> P(x) </math>'''.
Tal enunciado es verdadero cuando el conjunto de verdad consta exactamente de un elemento.
Por ejemplo, la proposición '''<math> \exists !x, x </math> es número primo par''' es verdadera, pues en el universo de los números reales, el único número primo par es el número 2.
=== Negación de Cuantificadores ===
Los cuantificadores se niegan de la siguiente manera
* <math> \sim(\forall x,P(x))\equiv\exists x,\sim P(x) </math>
* <math> \sim(\exists x,P(x))\equiv\forall x,\sim P(x) </math>
Por ejemplo, si consideramos el conjunto universo como los números reales, queremos negar el enunciado
<center>
<math> \exists x,x>3 </math>
</center>
la negación sería
<center>
<math> \forall x,x\leq 3 </math>
</center>
Los cuantificadores señalan el número de elementos del dominio cumplen la proposición,
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* Esta proposición solo es cierta si uno y solo un '''x''' cumple la proposición.
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