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Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notación científica otra vez.
==Radicales==
Nomenclatura: <math>\sqrt [n]{a}</math> es el '''radical''' <math>\mathit {a}\,\!</math> es el '''radicando''' y <math>\mathit {n}\,\!</math> es el '''índice''' de la raíz.
Ya se ha visto que
<math>\sqrt [n]{a} = b \iff a = b^{n}</math>
* Si <math>a \ge 0, \sqrt [n]{a}</math> existe para cualquier <math>\mathit {a}\,\!</math> y cualquier <math>\mathit {n}\,\!</math>
* Si <math>a < 0, \sqrt [n]{a}</math> existe sólo para valores impares de <math>\mathit {n}\,\!</math>
'''Forma exponencial de los radicales'''
<math>\sqrt [n]{a}= a ^{\frac{1}{n}}</math> ya que <math>\big( a ^{\frac{1}{n}}\big)^{n} = a</math>
<math>\sqrt [n]{a^m}= a ^{\frac{m}{n}}</math> ya que <math>\sqrt [n]{a^m}=\big( a^m \big) ^{\frac{1}{n}}=a^{m \cdot \frac{1}{n}}=a ^{\frac{m}{n}}</math>
===Propiedades de los radicales===
{|
| align="center" colspan="2" style="border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;" |
<math>\sqrt[np]{a^{p}} = \sqrt[n]{a}</math>
|ya que <math>\sqrt [np]{a^{p}} = a^{\frac {p}{np}} = a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}</math>
|}
'''Aplicaciones'''
* Simplificar radicales <math>\sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^{2}} = \sqrt{5}</math>
* Pasar radicales a índice común. ¿Qué es más grande, <math>\sqrt[3]{534}</math> ó <math>\sqrt{78}</math>?
<math>\sqrt[3]{534} = \sqrt[6]{534^{2}} = \sqrt[6]{285\,156}</math>, <math>\sqrt[6]{78^{3}} = \sqrt[6]{474\,552}</math> Por lo tanto <math>\sqrt[3]{534} < \sqrt{78}</math>
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| align="center" colspan="2" style="border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;" |
<math>\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}</math>
|ya que <math>\sqrt[n]{a \cdot b} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} </math>
|}
'''Aplicaciones'''
* Sacar fuera de la raíz los factores que nos convengan. <math>\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}=</math>
<math>= \sqrt {5^{2} \cdot 2} = \sqrt {5^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot \sqrt{2}</math>
* Agrupar radicales <math>\sqrt{23} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{230}</math>
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| align="center" colspan="2" style="border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;" |
<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}</math>
|ya que <math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \bigg( \frac{a}{b} \bigg)^{\frac{1}{n}} = \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}</math>
|}
'''Aplicaciones'''
* Gracias a estas tres propiedades podemos juntar castillos de fracciones en un solo radical:
<math>\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[6]{40}} = \frac{\sqrt[6]{5^3} \cdot \sqrt[6]{4^2}}{\sqrt[6]{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{\frac{5^3 \cdot 2^4}{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[6]{50}</math>
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| align="center" colspan="2" style="border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;" |
<math>\Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \sqrt[n]{a^p}</math>
|ya que <math>\Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \Big(a^{\frac{1}{n}} \Big)^p = (a^{\frac{1}{n} \cdot p}) = \Big(a^p \Big)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^p}</math>
|}
{|
| align="center" colspan="2" style="border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;" |
<math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}</math>
|ya que <math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \Big(a^{\frac{1}{n}}\Big)^\frac{1}{m} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[mn]{a}</math>
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| align="center" colspan="2" style="border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;" |
No se pueden sumar radicales distintos, sólo los semejantes (aquellos que tras simplificarlos tienen el mismo radicando y el mismo índice)
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Es decir, yo no puedo sumar <math>\sqrt{5} + \sqrt{2}</math> ni tampoco <math>\sqrt[3]{5} + \sqrt{5}</math>
En cambio sí que puedo sumar <math>3\sqrt{7} + 6\sqrt{7} - \sqrt{7} = 8\sqrt{7}</math>
Hay veces que no es evidente:
<math>\sqrt{8}-\sqrt{50}+\sqrt{98} = \sqrt{2^3}-\sqrt{2 \cdot 5^2}+\sqrt{2 \cdot 7^2} = </math>
<math>= 2\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2} = 4\sqrt{2}</math>
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| align="center" colspan="2" style="border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;" |
A veces (muchas) nos interesará 'quitar' las raíces del denominador. Esto se hace multiplicando numerador y denominador por la expresión adecuada (este proceso se denomina racionalizar)
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<math>\frac{1}{\sqrt[3]{49}} = \frac{1}{\sqrt[3]{7^2}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{7}</math>
<math>\frac{1}{7 - \sqrt{5}} = \frac{7 + \sqrt{5}}{\big(7 + \sqrt{5}\big)\big(7 - \sqrt{5}\big)} = \frac{7 + \sqrt{5}}{7^2-\big(\sqrt{5}\big)^2} = \frac{7 + \sqrt{5}}{44}</math>
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