Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»

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inyectivo, pero no suprayectivo.
<hr>
 
&&&&
== Propiedades de los Homomorfismos ==
 
La definición dada de homomorfismo arriba, es la definición general
de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice [[../Estructuras Algebraicas|La teoría de las Estructuras Algebraicas.]]</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos.
 
<b>Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa)</b>. <i> Sean
<math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow
 
<math>f: G \rightarrow G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que
<math>f(x * y)= f(x) *' f(y).</math>'' </i>
<ul><i>
Demostración: </i> LasLa condicionescondición sones claramente necesariasnecesaria. Veamos
que sones suficientessuficiente. Observemos que <math>f(e) = f(e * e) = f(e) *'f(e) </math>,
lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x *
x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math> :Lo
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<hr>
 
{{Ejmpl|Ejemplo (Determinante de Matrices)}}
La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B).</math></center>
porPor lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles
<b>GL</b><sub>2</sub><math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los
Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad
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{{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}}
Los grupos cíclicos de orden 4, <b>C<sub>4</sub></b> y <b>K</b> (grupo de Klein), vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C<sub>4</sub> hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos.
<hr>
 
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<math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que
<math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que
<math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>>. Si <math> k
 
<math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>> Si <math> k
\neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que
<math>n</math>. Lo que es imposible, ya que porque por definiciónlas hipótesis <math>n</math> es
el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego
<math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la
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==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ====
 
Recordemos que el grupo simétrico, <math>\textsf{S}_X</math>, es el grupo
formado por todas las biyecciones del conjunto <math>X</math> en sí mismo.
Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus
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Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual
cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y''
conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow yY</math> la
función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f:
S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en
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de una biyección de <i>Y</i> en <i>Y</i>, o sea de un elemento de
<math>S_Y</math>. Veamos, ahora, que <math>S_f</math> es un
homomorfismo.
homomorfismo. <center><math> S_f(\sigma \tau) = f (\sigma \tau) f^{-1} =
 
f\sigma f^{-1}f \tau f^{-1} = S_f(\sigma)S_f(\tau). </math></center> Claramente,
<center><math>
la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de
 
<math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de
homomorfismo. <center><math>S_f(\sigma )S_f(\tau) =f \sigma f^{-1} \circ f \tau) \f^{-1} = f (\sigma \tau) f^{-1} =
S_f(\sigma \tau ). </math></center> Claramente, la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de <math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de
<math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que
prueba que se trata de un isomorfismo de grupos.
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<b>Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos)</b> <i> Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.</i>
 
<b>Corolario 6.1. </b><i> El grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_n</math> el grupo simétrico de <math>S_{I_n =\{1, 2, \dots,n\}</math>.
</i>
 
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contenido en <math>\textsf{S}_G</math>.
 
{{Ejmpl|Automorfismos de <math>C_n=c_{n,a}</math>}}
Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como [1]<math>a</math> es un generador del grupo, su imagen <math<f(a)</math>debe ser un generador del grupo. <ul>
<li>
(n=5) Es fácil ver por inspección, que los generadores de <math>C_5</math> son <math>a^i</math> para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que <math>f_i (a) = a^i</math> para <math>i=1,2,3,4</math>. Observemos
(n=5) Supongamos que ''a'' es un generador de <math>C_5</math>. Por
inspección, podemos ver que los generadores del grupo son <math>a^i</math>
para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos
tales que <math>f_i (a) = a^i</math> para <math>i=1,2,3,4</math> Observemos
que <math>f_1(a) = a</math> implica que <math>f_1(a^j) =f_1(a)^j = a^j</math>,
es decir que <math>f_1=id</math>, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro
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Lo que prueba que <math>\rm{Aut}(C_5) \cong C_4.</math>
 
<li> (n=6) En <math>C_6</math> hay solo dos generadores, [1]<math>a</math> y [<math?a^5]</math>.. Por lo que
hay solamente dos automorfismos: <math>id: [1]a \longrightarrowmapsto [1]a</math> y
<math>\sigma: [1]a \mapsto [a^5]</math>. Por lo que <math>\rm{Aut}(C_6)
\cong C_2.</math> </ul> <hr>
 
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<li> Sea <math>H</math> una imagen homomórfica de <math>G</math>. Probar
que las afirmaciones siguientes.
<ol type="a">
<li> Si <i>G</i> es abeliano, <i>H</i> también lo es.