Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»
Contenido eliminado Contenido añadido
había un signo mal, lo he corregido |
mSin resumen de edición |
||
Línea 11:
Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4:
C<sub>4,a</sub>, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad,
U<sub>4</sub> = U<sub>4</sub>(<math>
grupos distintos? La respuesta sería aparentemente
solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más
interesados en las propiedades de las operaciones que
simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C<sub>4,a</sub> como
U<sub>4</sub> son grupos cíclicos con generadores ''a'' e ''i'' respectivamente y
que tenemos el siguiente pareo.
<center><math> \begin{array}{lcl}
C_4 && U_4 \\ \hline a & \leftrightarrow & i \\ a^2 & \leftrightarrow & i^2=-1\\ a^3 &
Línea 24 ⟶ 26:
</math></center>
El pareo hace que el ''algebra'' de ambos grupos luzca
bastante similar. La manera
homomorfismo,
En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre
grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar
isomorfías (<i>iguales formas</i>como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que serán funciones que preservan los parámetros de la
estructura de grupo.
Línea 68 ⟶ 69:
<li> <math>\ln(1) = 0</math>, y
<li> <math>\ln(1/x) = - \ln(x)</math>.
</ol>Además, se trata de un isomorfismo, ya que el logaritmo es una
función biyectiva, ya que tiene a la función exponencial como inversa.
<hr>
Línea 100 ⟶ 101:
inyectivo, pero no suprayectivo.
<hr>
&&&&
== Propiedades de los Homomorfismos ==
Línea 106 ⟶ 107:
de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice [[../Estructuras Algebraicas|La teoría de las Estructuras Algebraicas.]]</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos.
<b>Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa)</b>. <i> Sean
<math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow
G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que
| |||