|
Carlos Oscar Rodríguez Leal.
'''<big>Convenios y notaciones.</big>'''
{| class="wikitable"
!Símbolo
!Se leé
!Significado
|-
|=
|es igual a, igual a
|símbolo de igualdad de ambos lados de una ecuación
|-
|<math>:=</math>
|se define como
|símbolo de igualdad por definición
|-
|<math>\equiv</math>
|es equivalente a
|símbolo de equivalencia de números ó expresiones numéricas
|-
|<math>\rightarrow</math>
|entoces, por lo tanto, se deduce que
|símbolo lógico condicional o de implicación
|-
|<math>\leftrightarrow</math>
|si y solo si, solamente si, es equivalente a
|símbolo lógico bicondicional o de equivalencia de expresiones lógicas o proposiciones
|-
|<math>\in</math>
|pertenece
|
|-
|<math>\notin</math>
|no pertenece
|
|-
|<math>|</math> ó <math>:</math>
|tal que
|
|-
|<math>\forall</math>
|todo, para todo
|
|-
|<math>\{ \ldots \}</math>
|
|representa un conjunto, donde en lugar de puntos suspensivos se pone la regla de definición del conjuto
|-
|<math>\{ \}, \phi</math>
|conjunto vacío, fi
|representa al conjunto que no posee elementos
|-
|<math>\subset</math>
|es subconjunto de
|símbolo de subconjunto
|-
|<math>\supset</math>
|es superconjunto de
|símbolo de superconjunto
|-
|<math>\cup</math>
|unión
|símbolo de unión de conjuntos
|-
|<math>\cap</math>
|intersección
|símbolo de intersección de conjuntos
|-
|\
|menos
|símbolo de diferencia de conjuntos
|-
|<math>A^c</math>
|A complemento, ó complemento de A
|complemento del conjunto <math>A</math>
|-
|<math>\times</math>
|producto cartesiano de
|producto cartesiano de conjuntos
|-
|<math>(a,b)</math>
|a be
|par ordenado de elementos <math>a</math> y <math>b</math>
|-
|<math>f : A \rightarrow B</math>
|<math>f</math> de <math>A</math> a <math>B</math>
|función <math>f</math> cuyo dominio de definición es <math>A</math> y cuyo codominio es <math>B</math>
|-
|<math>a \mapsto f(a)</math>
|"a" a efe de "a"
|definición de una función
|-
|<math>f[A]</math>
|efe de A
|es el conjuto de todas las imágenes de elementos de A
|-
|<math>\circ</math>
|composición
|símbolo de composición de dos funciones
|-
|<math>f^{-1}</math>
|efe inversa
|representa la función inversa de la función <math>f</math>
|-
|<math>1_A</math>
|uno A
|función idéntica cuyo dominio es el conjunto <math>A</math>
|}
== 1. Breve Definición Informal de los Sistemas Axiomáticos ==
Una vez definidos los sistemas axiomáticos, ya estamos listos para comenzar con nuestra introducción al apasionante mundo de la teoría de conjuntos.
== 2. Teoría de Conjuntos Elemental. <ref name=":0">Teoría de Conjuntos. Gustavo Villalobos Hernández, Elena Gósteva. amate editorial.
[[Matemáticas/Teoría de conjuntos]]
</ref><ref>Topología General. Seymour Lipschutz. Serie Schaum.</ref> ==
Artículo principal: [[Matemáticas/Teoría de conjuntosFunciones]]
=== Conjuntos, definiciones y propiedades generales. ===
'''Definición 2.1. Conjunto.''' Colección de objetos bien definidos.
'''Definición 2.2. Elementos.''' Son los objetos que pertenecen a un conjunto.
Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Si un elemento <math>a</math> pertenece a un conjunto <math>A</math>, lo representamos matemáticamente como <math>a \in A</math>, lo cual se lee: "a pertenece a A"; y si un elemento <math>b</math> no pertenece a un conjunto <math>A</math>, lo expresamos como <math>b \not\in A</math> y lo leemos como: "b no pertenece a A".
Un conjunto se puede especificar ya sea por extensión (o enumeración) o por descripción.
'''Definición 2.3. Especificación por extensión o enumeración.''' Cuando un conjunto es finito y consta de los <math>n</math> elementos <math>a_1 , a_2 , \ldots a_n</math>, entonces se puede expresar por la enumeración de todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves: <math>A = \{ a_1 , a_2 , \ldots , a_n \}</math>.
'''Definición 2.4. Especificación por descripción.''' Si <math>P</math> es una propiedad y <math>a</math> un objeto, entonces <math>A = \{ x | P(x) \}</math> denota el conjunto de objetos que poseen la propiedad <math>P</math> (los elementos de <math>A</math>). Otra forma de denotar los elementos de un conjunto es expresando explícitamente algunos de sus elementos y luego poniendo puntos suspensivos en los lugares apropiados, siendo que queda entendido de manera implícita el total de elementos.
'''Ejemplo 2.1.'''
# El conjunto de todas las vocales minúsculas del alfabeto español se puede especificar por extensión como: <math>V = \{ a, e ,i ,o ,u \}</math>. Y por descripción como: <math>V = \{ x | x </math> es una vocal minúscula del alfabeto español <math> \}</math>
# El conjunto de todos los animales de Villa Fantasía se puede determinar por enumeración así: <math>A = \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre, guacamaya \} </math>.
# El conjunto de todos los números naturales se puede representar por descripción como: <math>\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \}</math>, donde el símbolo <math>\mathbb{N}</math> se utiliza exclusivamente para denotar dicho conjunto.
# <math>\mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \}</math>
# <math>\mathbb{Z} = \{ \ldots , -3, -2, -1, 1, 2, 3, \ldots \}</math>
# El conjunto de todos los números pares se puede expresar por descripción como: <math>P = \{ n \ | </math> n es múltiplo de 2 <math>\}</math>.
# El conjunto de los números impares: <math>I = \{ n \ : \ n \in \mathbb{Z}, n </math> no es múltiplo de 2 <math>\}</math>.
# El conjunto de los dígitos: <math>D = \{ 0,1,2, \ldots, 9 \}. </math>
'''Definición 2.5.''' '''Igualdad de conjuntos.''' Dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son iguales solo si poseen exactamente los mismos elementos, i.e. son el mismo conjunto, lo que implica que <math>\forall x \in A \rightarrow x \in B</math> y que <math>\forall x \in B \rightarrow x \in A</math>. Lo anterior se representa como <math>A = B</math>, y se leé: "A es igual a B". En caso contrario se dice que los conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son distintos, lo que se simboliza como <math>A \neq B</math>, y se leé: A es distinto de B"; y significa que "<math>\exists x \in A : x \not\in B</math> ó <math>\exist x \in B : x \not \in A</math>
'''Nota 2.1.''' Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos sin importar que estén ordenados de diferentes maneras en su especificación por extensión.
'''Ejemplo 2.2.''' <math>A = \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre, guacamaya \} = \{ chango_2 , caballo, guacamaya, tigre, chango_1 \} \neq \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre \} = \{ x \ | \ x </math> es un mamífero de Villa Fantasía<math>\} </math>.
'''Definición 2.6. Conjuntos finitos e infinitos.''' Un conjunto es finito cuando consta de <math>n</math> elementos diferentes, siendo <math>n</math> un número natural o el cero: <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. En cas contrario se dice que dicho conjunto es infinito.
'''Definición 2.7. Subconjuntos y superconjuntos:''' Se dice que un conjunto <math>A</math> es subconjunto de un conjunto <math>B</math> si todo elemento de <math>A</math> pertenece a <math>B</math>, o en notación matemática: <math>A \subset B \leftrightarrow \forall x \in A \rightarrow x \in B</math> y se leé (A es subconjunto de B ó A está contenido en B); y en ese caso se dice que <math>B</math> es superconjunto de <math>A</math>, ó <math>B \supset A</math> (se leé: B es superconjunto de A"), donde los símbolos <math>\subset</math> y <math>\supset</math> son los símbolos de subconjunto y superconjunto respectivamente.
'''Definición 2.8. Familias o clases.''' A los conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos los llamaremos familias o clases, lo cual se expresa como <math>A = \{ B_i \},</math> donde <math>A</math> es un conjunto cuyos elementos son los conjuntos <math>B_i</math>.
'''Ejemplo 2.3.''' Sea el conjunto de todos los puntos del plano, cada recta del plano es a su vez un subconjunto de puntos por lo que el conjunto de todas las rectas del plano es la familia o clase de las rectas del plano en este contexto.
'''Definición 2.9. Conjuntos universal y vacío.''' En las aplicaciones particulares de la teoría de conjuntos podemos trabajar con una familia de conjuntos de la cual un conjunto sea superconjunto de todos los demás; dicho conjunto se llama '''conjunto universal''' o '''universo del discurso''' y se denota por <math>U</math>. Además, el conjunto vacío se define como el conjunto que no posee elementos, y se simboliza como <math>\phi \equiv \{ \}</math>; este conjunto se considera finito y subconjunto de cualquier otro conjunto, ya que no contradice a la definición de subconjuntos. Así, para todo conjunto <math>A</math>, <math>\phi \subset A \subset U</math>.
'''Ejemplo 2.4.'''
# El conjunto de los changos de Villa Fantasía del ejemplo '''2.1''' es un subconjunto del conjunto de animales de Villa Fantasía: <math>C = \{ chango_1, chango_2 \} \subset A = \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre, guacamaya \} </math>. Otros conjuntos son el conjunto de mamíferos de Villa Fantasía: <math>M = \{ chango_1 , changa_2, tigre, caballo \} </math>, y el conjunto de aves de ese mismo lugar: <math>V = \{guacamaya\}</math>; siendo que en ese contexto el conjunto universal es el conjunto de los animales de Villa Fantasía: <math>A = \{ chango_1 , changa_2, tigre, caballo, guacamaya \}</math>.
# El conjunto de todos los puntos del plano será nuestro universo, y la familia de las rectas del plano será una familia de subconjuntos de dicho universo, al igual que la familia de los triángulos.
'''Ejemplo 2.5.''' <math>\{\phi\} \neq \phi \equiv \{ \}</math>, ya que <math>\{ \phi \}</math> tiene un elemento, el conjunto vacío, mientras que el conjunto vacío mismo no contiene elemento alguno.
'''Proposición 2.1.''' Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: <math>A \subset A</math>
<u>Demostración:</u>
Aplicaremos las leyes de la lógica-matemática como reglas lógicas de inferencia. Por lo tanto:
# <math>\forall x \in A \rightarrow x \in A</math> (principio lógico de identidad)
# <math>A \subset A</math>, donde hemos aplicado la '''definición 2.7''' a 1. <math>\blacksquare</math>
'''Proposición 2.2. Definición equivalente de igualdad de conjuntos.''' Una vez definidos los subconjuntos podemos establecer una definición equivalente para la igualdad de conjuntos como <math>A = B</math> solo si <math>A \subset B</math> y <math>B \subset A</math>.
'''Demostración:''' Como la proposición implica una bicondicional (<math>A = B \leftrightarrow A \subset B \land B \subset A</math>), tenemos que demostrar primero en un sentido y después en el otro, es decir, primero demostraremos que <math>A = B \rightarrow A \subset B \land B \subset A</math> y luego deberemos demostrar que <math>A \subset B \land B \subset A \rightarrow A = B</math>.
<u>Primera parte:</u> Hipótesis: <math>A = B</math>. Por demostrar: <math>A \subset B \land B \subset A</math>
<u>Demostración:</u>
# Como <math>A = B</math>, tenemos debido a la '''proposición 2.1''' que <math>A \subset B</math> y <math>B \subset A</math>
Segunda parte: Hipótesis: <math>A \subset B \land B \subset A</math>. Por demostrar: <math>A = B</math>
<u>Demostración:</u>
# Como <math>A \subset B</math> (por hipótesis), tenemos que <math>\forall a \in A \rightarrow a \in B</math> (debido a la '''definición 2.7''').
# De igual forma, como <math>B \subset A</math>, entonces <math>\forall a \in B \rightarrow a \in A</math>.
# Por lo tanto, de 1. y 2. debido a la '''definición 2.5.''' vemos que <math>A = B</math>. <math>\blacksquare</math>
'''Proposición 2.3. Propiedad transitiva.''' Si <math>A \subset B</math> y <math>B \subset C</math> entonces <math>A \subset C</math>.
'''Ejemplo 2.6.''' Tomemos al conjunto de todos los animales como nuestro universo (el reino animalia en biología). Entonces el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los felinos. A su vez el conjunto de todos los felinos es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos. En consecuencia podemos afirmar que el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos.
=== Operaciones con conjuntos. ===
'''Definición 2.10. Unión de conjuntos.''' La unión de dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math>, denotada como <math>A \cup B</math> es el conjunto compuesto de todos los elementos que pertenecen a <math>A</math> ó a <math>B</math>, es decir:
<math>A \cup B = \{ x : x \in A \ \lor \ x \in B \}</math>. La unión de varios conjuntos (cero, uno, dos o más), representada como <math>\cup_i A_i</math>, es el conjunto conformado por todos los elemento que pertenecen a por lo menos uno de los conjuntos <math>A_i.</math>
'''Definición 2.11. Intersección de conjuntos.''' La intersección de dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a <math>A</math> y a <math>B</math>:
<math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \land \ x \in B \}</math>. La intersección de varios conjuntos (cero, uno, dos o más), simbolizada como <math>\cap_i A_i,</math> es el conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a cada conjunto <math>A_i.</math>
'''Definición 2.12. Conjuntos disjuntos.''' Se dice que dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son disjuntos si no poseen elementos en común, i.e. <math>A \cap B = \phi</math>.
'''Definición 2.13. Diferencia de conjuntos.''' La diferencia de <math>A</math> y <math>B</math>, representada como <math>A \setminus B</math>, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a <math>A</math> y no pertenencen a <math>B</math>:
<math>A \setminus B = \{ x : x \in A \land x \not \in B \}</math>.
'''Definición 2.14. Complemento de un conjunto.''' El complemento de un conjunto <math>A</math>, representado como <math>A^c</math>, es el conjunto conformado por todos los elementos que no pertenecen a <math>A</math>, respecto al conjunto universal:
<math>A^c = \{ x : x \not \in A \} = U \setminus A</math>.
'''Ejemplo 2.7.''' Sea nuestro universo el conjunto de todos los animales de Villa Fantasía del ejemplo 2.1. Entonces tendremos lo siguiente:
# Sean <math>M := \{ x:</math> x es un mamifero<math>\}</math> y <math>V = \{y : y</math> es un ave<math>\}</math>, entonces <math>M \cup V = U</math>, es decir, el conjunto universal de todos los animales de Villa Fantasía. Además <math>M \cap V = \phi</math>, i.e. <math>M</math> y <math>V</math> son disjuntos.
# Dados los siguientes subconjuntos de l conjunto universal de animales de Villa Fantasía: <math>B := \{ chango_1, caballo, tigre \},</math> <math>C = \{ chango_2,caballo,tigre \}</math>; entonces <math>B \cup C = \{ x | x</math> es un mamífero<math>\}</math>, <math>B \cap C = \{ caballo, tigre \}</math>, <math>B \backslash C = \{ chango_1 \}</math>, <math>B^c = \{ chango_2, guacamaya \}</math>
#
'''Proposición 1.4. Leyes del álgebra de conjuntos.''' Los conjuntos cumplen con las siguientes leyes.
{| class="wikitable"
!'''Leyes del álgebra de conjuntos'''
|-
!Leyes de idempotencia
1.1 <math>A \cup A = A</math> 1.2 <math>A \cap A = A</math>
|-
!Leyes asociativas
2.1 <math>(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)</math> 2.2 <math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)</math>
|-
!Leyes conmutativas
3.1 <math>A \cup B = B \cup A</math> 3.2 <math>A \cap B = B \cap A</math>
|-
!Leyes distributivas
4.1 <math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math> 4.2 <math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)</math>
|-
!Leyes de identidad
5.1 <math>A \cup \phi = A</math> 5.2 <math>A \cap \phi = \phi</math> 5.3 <math>A \cup U = U</math> 5.4 <math>A \cap U = A</math>
|-
!Leyes de complemento
6.1 <math>A \cup A^c = U</math> 6.2 <math>A \cap A^c = \phi</math> 6.3 <math>(A^c)^c = A</math> 6.4 <math>U^c = \phi</math> 6.5 <math>\phi^c = U</math>
|-
!Leyes de De Morgan
7.1 <math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math> 7.2 <math>(A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math>
|}
'''Demostración de las leyes conmutativas.'''
# De la '''definición 2.10''' y la ley lógica conmutativa de la disyunción, tenemos que <math>A \cup B = \{ x : x \in A \ \lor \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \lor \ x \in A \} = B \cup A</math>.
# De la '''definición 2.11''' y la ley lógica conmutativa de la conjunción, tenemos que <math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \land \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \land \ x \in A \} = B \cap A</math>.<math>\blacksquare</math>
'''Definición 2.15. Conjuntos producto.''' Dados dos conjuntos ''A'' y ''B'', el '''conjunto producto''' ó '''producto cartesiano''' de ''A'' y ''B'', denotado como <math>A \times B</math>, se define como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de ''A'' y ''B'' respectivamente, es decir:
<math>A \times B = \{ (a, b) : a \in A, b \in B \}</math>,
donde el orden de los elementos del par sí importa, i.e. en general <math>(a,b) \not = (b,a)</math>.
'''Ejemplo 2.8. El plano cartesiano.''' Cuando <math>A = B = \mathbb{R}</math> los pares ordenados <math>(a,b)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math> se representan gráficamente como puntos o coordenadas en el plano cartesiano (ver Figura 1).
'''Definición 2.16. Conjuntos producto generalizados.''' El concepto de conjunto producto puede generalizarse de manera natural para cualquier número finito de conjuntos. El conjunto producto de los conjuntos <math>A_1, A_2 \ldots , A_n</math>, representado como <math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n</math>, es el conjunto de todas las '''n-adas''' ó '''n-uplas''' de elementos de cada conjunto respectivo, i.e.
<math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n = (a_1, a_2, \ldots , a_n) : a_i \in A_i \ \forall i = 1, \ldots , n</math>.
=== Funciones ===
'''Definición 2.17. Función.''' Una '''función''' ó '''aplicación''' es una relación o regla entre dos conjuntos ''A'' y ''B'' que asocia a cada elemento del conjunto ''A'' un "<u>único</u>" elemento del conjunto ''B, y se denota por''
<math>f : A \rightarrow B</math>, Si a <math>a \in A</math> le corresponde el elemento <math>b \in B</math>, entonces podemos expresar dicha correspondencia como <math>b = f(a),</math> donde <math>f(a)</math> es la evaluación de <math>f</math> en <math>a</math>, por lo que otra forma de denotar a <math>f</math> es <math>a \mapsto f(a).</math>
'''Nota 2.3.''' De la definición '''2.16''' vemos que no es posible que existan dos elementos <math>b, c \in B</math> (<math>b \neq c</math>) tales que <math>f(a) = b</math> y <math>f(a) = c</math>, <math>\forall a \in A</math>. Por el contrario, sí es posible (está permitido) que para dos elementos <math>a, b \in A</math> exista un mismo elemento <math>c \in B</math> de tal manera que <math>f(a) = c</math> y <math>f(b) = c</math> (ver Figura 2).
'''Definición 2.18. Dominio y codominio.''' Sea <math>f : A \rightarrow B</math> una función, al conjunto ''A'' se le llama dominio de ''f'' y al conjuto ''B'' se le llama codominio de ''f''. Si <math>b = f(a),</math> se dice que <math>b</math> es el valor de <math>f</math> en <math>a</math> ó que <math>b</math> es la imagen de <math>a</math> por <math>f</math>.
'''Definición 2.19. Imagen o rango.''' La imagen o rango de <math>f: A \rightarrow B</math>, definido como <math>f[A] = \{ f(a) : a \in A \},</math>es el conjunto de todas las imágenes de elementos de <math>A</math>.
'''Nota 2.4.''' Debe observarse que algunos elementos de <math>B</math> pudieran no pertenecer a <math>f[A]</math>, i.e. <math>f[A] \subset B</math> (ver Figura 2).
'''Definición 2.20. Gráfica de f:''' De las definiciones '''2.17''' y '''2.18''' concluimos que una función <math>f</math> se puede poner en correspondencia con un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados de su dominio ''A'' y de su codominio ''B'': <math>( f : A \rightarrow B ) \leftrightarrow \{ (a, f(a)) : a \in A \},</math> es decir, <math>f</math> queda perfectamente determinada por un único subconjunto de <math>A \times B</math>. Al conjunto <math>\{ (a, f(a)) : a \in A \}</math>se le llama '''gráfica de f'''.
'''Ejemplo 2.9. Función cuadrática.''' La función <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto f(x) = x^2</math>que asigna a cada número real su cuadrado, es decir, <math>y = f(x) = x^2,</math> tiene como dominio y codominio a <math>\mathbb{R}</math>, sin embargo posee como imagen o rango a los reales positivos mas el cero, es decir: <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\}</math>. Además, se presenta a continuación una tabla donde se evalúa a <math>f</math> en algunos valores y se muestra su gráfica (ver Figura 3).
{| class="wikitable"
!<math>x</math>
!-2.5
!-2
!-1
!0
!1
!2
!2.5
|-
|<math>f(x)</math>
|'''6.25'''
|'''4'''
|'''1'''
|'''0'''
|'''1'''
|'''4'''
|'''6.25'''
|}
'''Definición 2.21. Igualdad de funciones.''' Dos funciones <math>f,g:A \rightarrow B</math> son iguales, lo que se expresa como <math>f = g</math>, si <math>f(a) = g(a), \forall a \in A;</math> en caso contrario se dice que <math>f</math> y <math>g</math> son distintas, es decir si <math>\exist a \in A \ t.q. \ f(a) \neq f(b),</math> lo cual se representa como <math>f \neq g</math> (ver figura 4).
'''Definición 2.22. Función constante.''' Una función <math>f: A\rightarrow B</math> es constante si para algún <math>b_0</math> fijo, <math>b_0 \in B</math>, se tiene que<math>f(a) = b_0, \forall a \in A.</math>
'''Ejemplo 2.10. Función constante.''' La función de variable real <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},</math> definida como <math>x \mapsto f(x) = 1,</math>es una función constante (ver Figura 5).
'''Definición 2.23. Función composición.''' Dadas dos funciones <math>f: A \rightarrow B,\ g: B \rightarrow C, </math> una función <math>h : A \rightarrow C</math> se llamará función composición de <math>f</math> y <math>g</math> (en ese orden), lo cual se denota como <math>g \circ f</math>, si <math>\forall a \in A, h(a) = (g \circ f)(a) := g(f(a))</math>(ver Figura 6).
'''Definición 2.24. Restricción y prolongación de''' <math>f</math>. Sean <math>f: A \rightarrow B</math> y <math>C \subset A</math>. La restricción de <math>f</math> a <math>C,</math> simbolizada como <math>f|_C</math>, es la función definida como <math>f|_C : (C \subset A) \rightarrow B,</math> i.e. el dominio de <math>f|_C</math> queda restringido al subconjunto <math>C</math> de <math>A.</math> De igual forma, dada una función <math>g: C \rightarrow B</math>, si definimos alguna <math>f : A \rightarrow B</math>, con <math>A \supset C</math>, tal que <math>f|_C = g,</math> entonces se dice que <math>f</math> es una prolongación de <math>g.</math>
'''Nota 2.5.''' Dada la función composición <math>h = g \circ f,</math> con <math>f : A \rightarrow B</math> y <math>g : B \rightarrow C,</math> en general el dominio de <math>g</math> se restringe a un subconjunto <math>D \subset B</math> dado por la imagen de <math>f;</math> es decir <math>f[A] = D \subset B</math> será el dominio restringido de <math>g</math> (ver Figura 6).
'''Definición 2.25. Función inyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas i.e. <math>f(a) = f(b)</math> implica que <math>a = b</math>. También se dice que es una función 1-1 (uo a uno) (ver Figura 7).
'''Definición 2.26. Función sobreyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es sobreyectiva si para todo elemento <math>b</math> del codominio existe un elemento <math>a</math> del dominio cuya imagen es <math>b</math>, es decir, si <math>\forall b \in B \ \exist a \in A \ t.q. f(a) = b</math> (ver Figura 8)
'''Definición 2.27. Función biyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, lo que significa que a todo elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio y viceversa, o lo que es lo mismo, <math>f</math> define una relación biunívoca entre <math>A</math> y <math>B</math> (ver Figura 9).
'''Definición 2.28. Función inversa.''' Sea <math>f : A \rightarrow B</math> una función biyectiva, y sea <math>g : B \rightarrow A</math> otra función biyectiva, tal que <math>\forall b \in B, \ g(b) = a \in A \ t.q. f(a) = b,</math>entonces <math>g</math> se define como la función inversa de <math>f</math> y se denota por <math>g := f^{-1}</math> (ver figura 10).
'''Definición 2.29. Función idéntica.''' Dada una función <math>f : A \rightarrow A</math>, tal que la imagen de un elemento es él mismo, i.e. <math>\forall a \in A \ f(a) = a</math>, dicha función se llama función identidad o función idéntica y se denota como <math>f := 1_A .</math>
'''Proposición 2.5.''' Dadas <math>f : A \rightarrow B</math> y <math>f^{-1} : B \rightarrow A,</math>entonces <math>f^{-1} \circ f = 1_A</math> y <math>f \circ f^{-1} = 1_B</math> (ver Figura 11).
'''Proposición 2.6.''' Sean <math>f : A \rightarrow B, \ 1_A : A \rightarrow A</math> y <math>1_B : B \rightarrow B,</math>entonces se cumple que <math>f \circ 1_A = f</math> y <math>1_B \circ f = f</math>.
'''Definición. 2.30. Conjuntos equipotentes.''' Se dice que dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son coordinables o equipotentes si existe una función biyectiva o relación biunívoca entre ellos, es decir, que a cada elemento del conjunto <math>A</math> le corresponde un único elemento del conjunto <math>B</math> y viceversa (ver Figura 12).
'''Definición 2.31. Función de dos variables.''' Una función <math>f</math> de dos variables, es una regla que asocia a cada par ordenado <math>(a,b), a \in A, b \in B,</math>uno y solamente un elemento <math>c \in C.</math> El conjunto <math>A \times B</math> es el dominio de <math>f</math> y <math>C</math> es el codominio de <math>f</math>. Además expresamos dicha función como <math>f : A \times B \rightarrow C.</math>
'''Definición 2.32. Función multivariable.''' De manera análoga, definimos en general a una función multivariable <math>f : A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n \rightarrow B</math> como una regla que asocia a cada <math>n</math>-ada ordenada <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n), a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \ldots, a_n \in A_n,</math>uno y solamente un elemento <math>b \in B.</math> El conjunto <math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n</math> es el dominio de <math>f</math> y <math>C</math> su codominio.
'''Definición 2.33. Gráfica de una función multivariable.''' Aplicando la definición 2.20 a una función multivariable <math>f : A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n \rightarrow B</math>, cuyo dominio es <math>D=A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n,</math>tendremos que su gráfica ha de ser el conjunto <math>\{ (a, f(a)) : a \in D \},</math>es decir, la n+1-eada o n+1-upla<math>\{ (a_1, a_2, \ldots, a_n, f(a)) : a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \ldots, a_n \in A_n \}.</math>
=== Particiones y clases ===
'''Definición 2.31. Partición de un conjunto.''' Una familia no vacía <math>\{B_i\}</math> de subconjuntos de un conjunto <math>A</math>, forma una partición de <math>A</math> si
# La unión de todos los subconjuntos <math>B_i</math> es el conjunto <math>A</math>, Lo cual, en símbolos matemáticos se expresa como <math>\cup_i B_i = A.</math>
# Todos los conjuntos <math>B_i</math> son mutuamente disjuntos, i.e. <math>B_m \cap B_n = \phi, \forall B_m, B_n \in \{ B_i \}</math>(ver figura 13).
'''Definición 2.32. Clases de equivalencia.''' Dada una partición <math>\{B_i\}</math> de un conjunto <math>A</math>, a los elementos <math>B_n \in \{ B_i \}</math> se les llama clases de equivalencia.
'''Definición 2.33. Representantes de clase.''' Sea <math>A</math> un conjunto, <math>\{ B_i \}</math> una partición de <math>A</math>, y <math>B_n \in \{ B_i \}</math> un elemento de la partición. Dado un elemento <math>b_n \in B_n,</math> se dice que <math>b_n</math> es un representante de la clase de equivalencia <math>B_n,</math> además podemos denotar a dicha clase mediante un representante a través de la expresión <math>[b_n] = B_n.</math>
== Estructuras algebraicas. ==
Artículo principal: [[Álgebra Abstracta/Estructuras Algebraicas]]
[[Álgebra Abstracta/Operación Binaria]]
[[Álgebra Abstracta/Grupo]]
'''Definición 3.1. Operación binaria.''' Dado un conjunto <math>A</math>, una [[w:Operación_binaria|operación binaria]] <math>*</math> sobre <math>A</math> es una función de dos variables <math>* : A \times A \rightarrow A,</math> expresada como <math>*(a,b) := a*b = c \in A, \forall a, b \in A.</math>
[[Álgebra Abstracta/Campo]]
[[Álgebra Abstracta/Campo ordenado]]
'''Definición 3.2. Cerradura.''' Una operación binaria es cerrada, lo cual significa que <math>\forall a, b \in A \rightarrow a*b = c \in A, </math> es decir, que la aplicación de la operación sobre dos elementos cualesquiera de <math>A</math> siempre nos dará otro elemento de <math>A,</math> i.e. la operación siempre está definida en <math>A</math> para cualesquiera dos elementos dados en <math>A</math>.
'''Ejemplo 3.1.''' Sea <math>\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,\ldots\}</math> el conjunto de los números naturales, la operación de adición "<math>+</math>" es una operación binaria y por ende cumple con la propiedad de cerradura (la suma de dos números naturales siempre nos resulta en otro número natural), por ejemplo: <math>1+2 = 3.</math>
'''Ejemplo 3.2.''' Sea <math>\mathbb{N}</math> dotado con la operación de sustracción "<math>-</math>", dicha operación no es cerrada, pues por ejemplo <math>1-2</math> no está definido en <math>\mathbb{N}</math>, ya que <math>1-2 = -1 \notin \mathbb{N}.</math>
'''Definición 3.3. Estructura algebraica.''' Una estructura algebraica es un par ordenado <math>(A, *,\circ,\star,\ldots),</math> siendo <math>A</math> un conjunto y <math>(*,\circ,\star)</math> un conjunto ordenado de operaciones binarias definidas sobre <math>A</math> que cumplen con una lista de propiedades. La cantidad de operaciones binarias así como las propiedades particulares que se cumplan determinará el tipo de estructura algebraica.
'''Definición 3.4. Grupo.''' Un ejemplo de estructura algebraica es el [[w:Grupo_(matemática)|grupo]] <ref>Números, grupos y anillos. José Dorronsoro. Eugenio Hernández. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. España. 1996</ref>, el cual se define como el par <math>(G, *),</math> donde <math>G</math> es un conjunto y <math>*</math> una operación binaria definida en <math>G</math> que cumple con las siguientes propiedades:
# Asociatividad: <math>\forall a,b,c \in G, (a*b)*c = a*(b*c)</math>i.e. podemos escribir simplemente <math>a*b*c</math>, omitiendo el uso de paréntesis innecesarios.
# Existencia del elemento neutro: <math>\exist e \in G \ t.q. \forall a \in G, \ a+e = e+a = a.</math> Al elemento <math>e</math> se le llama elemento neutro o elemento identidad.
# Existencia del elemento inverso: <math>\forall a \in G \ \exist b \in G, t.q. a*b = b*a = e.</math> El elemento inverso se suele representar como <math>a^{-1}.</math>
'''Definición 3.5. Grupo abeliano.''' Un [[w:Grupo_abeliano|grupo abeliano]] o grupo conmutativo es un grupo que también cumple con la siguiente propiedad:
* Conmutatividad: <math>\forall a, b \in G, a*b = b*a.</math>
'''Ejemplo 3.3.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{N}, +)</math> no es un grupo, pues aunque en <math>\mathbb{N}</math> sí se cumple la propiedad 1. de los grupos así como la conmutatividad, ahí no existen ni el elemento identidad ni el elemento inverso de ningún número natural.
'''Ejemplo 3.4.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{Z},+)</math>, donde <math>\mathbb{Z} = \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots \}</math> es el conjunto de los números enteros, y <math>+</math> es la operación de adición usual, es un grupo abeliano, ya que la operación es cerrada, por ejemplo <math>-2+1 = -1 \in \mathbb{Z}</math>, y además:
# <math>\forall l, m, n \in \mathbb{Z}, (l+m)+n = l+(m+n)=l+m+n</math> (asociatividad).
# <math>\exist 0 \in \mathbb{Z} \ t.q. \forall m \in \mathbb{Z}, 0+m = m+0 = m.</math>Por ejemplo, <math>3+0 = 0+3 = 3</math> (elemento identidad).
# <math>\forall m \in \mathbb{Z} \ \exist -m \in \mathbb{Z}, t.q. m + -m = -m + m = 0.</math>Por ejemplo, <math>-2 + 2 = 2 + -2 = 0</math> (elemento inverso).
# <math>\forall m, n \in \mathbb{Z}, m+n = n+m</math> (conmutatividad).
'''Ejemplo 3.5.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{Z},*)</math>, donde <math>*</math> se define de la siguiente forma: <math>m*n = 2 + (m + n),</math> siendo la operación "<math>+</math>" la operación binaria de adición usual, es evidentemente cerrada para <math>*</math>; además:
# <u>Asociatividad</u>:<math>\forall l, m, n \in \mathbb{Z}, (l*m)*n = 2 + (2 + l + m) + n = 2 + 2 + l + m + n = 2 + l + 2 + m + n = 2 + l + (2 + m + n) = l*(m*n),</math>donde hemos usado las propiedades asociativa y conmutativa de la operación adición "<math>+</math>".
# <u>Elemento identidad</u>:<math>\exist -2 \in \mathbb{Z} \ t.q. \forall m \in \mathbb{Z}, -2*m = 2 + (-2+m) = (2+ -2) + m = m = 2 + -2 + m =2 +m +-2 = 2 + (m+-2) = m*(-2),</math>donde utilizamos nuevamente las propiedades asociativa y conmutativa de la adición.
# <u>Elemento inverso</u>:<math>\forall m \in \mathbb{Z} \ \exist -(m+4) \in \mathbb{Z}, t.q. m * [-(m+4)] = 2+m+ -(m+4) = 2 + m + -m +-4 = 2+(m+-m)+-4 = 2+-4 = -2,</math>donde una vez más se han utilizado las propiedades asociativa y conmutativa, además de la existencia del elemento inverso en <math>\mathbb{Z}</math>, así como la propiedad <math>-(m+n) = -m+-n,</math>la cual se demostrará más adelante (siendo en este caso <math>n = 4</math>). Solo falta demostrar la otra igualdad, es decir, que <math>-(m+4)*m = -2,</math> lo cual se deja como ejercicio en la sección de problemas.
# <u>Conmutatividad</u>:<math>\forall m, n \in \mathbb{Z}, m*n = 2+(m+n) =2+(n+m) = n*m,</math>en donde otra vez hemos utilizado la propiedad conmutativa.
Por lo tanto, al ser "<math>*</math>" cerrada y cumplirse las cuatro propiedades anteriores, vemos que la estructura <math>(\mathbb{Z},*)</math> de hecho es un grupo abeliano.
'''Definición 3.6. Campo.''' Un campo (o [[w:Cuerpo_(matemáticas)|cuerpo]]) es una terna <math>(F,+,\cdot)</math>, donde <math>F</math> es un conjunto y, <math>+</math> y <math>\cdot</math> son dos operaciones binarias abstractas sobre <math>F</math> llamadas adición y multiplicación, respectivamente, que cumplen con las siguientes propiedades (además de las obvias cerraduras):
* Para la adición: <math>(F,+)</math> es un grupo abeliano, es decir, se cumplen las propiedades siguientes:
# Asociatividad aditiva: <math>\forall a,b,c \in F, \ (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c,</math>pues al haber asociatividad los paréntesis son redundantes y por ello se pueden omitir.
# Existencia del elemento identidad o neutro aditivo: <math>\forall a \in F \ \exist e \in F,</math> t.q. <math>a + e = e+a = a</math>
# Existencia del elemento inverso aditivo: <math>\forall a \in F \ \exist -a \in F,</math>t.q. <math>a + -a = -a +a = e,</math> donde al inverso aditivo de <math>a</math> lo hemos representado como <math>-a.</math>
# Conmutatividad aditiva: <math>\forall a,b \in F \ a+b = b+a.</math>
* Para la multiplicación: <math>(F,\cdot)</math> es también un grupo abeliano, es decir, tendremos las siguientes propiedades:
# Asociatividad.
# Existencia del elemento identidad o neutro
# Existencia del elemento inverso.
# Conmutatividad.
* Además, para las operaciones <math>+</math> y <math>\cdot</math> combinadas tendremos una propiedad más: <math>(F,+,\cdot)</math> satisface la propiedad distributiva:
# <math>\forall a, b , c \in F, \ a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c</math> (distributividad por izquierda) y <math>(b+c)\cdot a = b \cdot a + c\cdot a</math> (distributividad por derecha).
'''Ejemplo 3.6.''' Dado el conjunto de los números racionales <math>\mathbb{Q} := \{ \frac{m}{n} : m,n \in \mathbb{Z}\},</math>i.e. el conjunto de los quebrados o fracciones, tenemos que la triupla <math>(\mathbb{Q}, +, *),</math>con la adición y multiplicación usuales, es un campo, ya que verifica todas las propiedades de la definición anterior.
== 4. Conjuntos ordenados ==
'''Definición 4.1. Orden.''' Dado un conjunto <math>A,</math>un orden en <math>A</math>es una relación o regla entre cada dos elementos de dicho conjunto, representado por <math><,</math>tal que posee las siguientes dos propiedades
# Si <math>x,y \in A</math>una y solo una de las siguientes proposiciones es cierta: <math>x < y, x = y</math>ó <math>y < x</math>(ley de tricotomía).
# Si <math>x<y</math> y <math>y<z,</math>entonces <math>x<z</math>(propiedad transitiva).
La expresión <math>x<y</math> se lee "x es menor que y" o "x precede a y".
Cuando <math>x<y</math> también puede escribirse <math>y > x.</math> Además, la expresión <math>x \leq y</math> significa que <math>x < y</math> ó <math>x = y</math> (pero no ambos). De lo anterior se establece que <math>x \geq y \rightarrow y \leq x \rightarrow x > y</math> ó <math>x = y.</math>
'''Definición 4.2. Conjunto ordenado.''' Un conjunto ordenado es aquel en el que se ha definido un orden.
'''Ejemplo 4.1.''' Sea <math>\mathbb{Z} := \{ 1,2,3, \ldots \},</math>dicho conjunto es ordenado, donde el orden se puede definir como <math>m<n</math> si <math>n-m \in \mathbb{N} := \{ 1,2,3, \ldots \}.</math>
'''Definición 4.2. Campo ordenado.''' Un campo ordenado es un campo <math>F</math> que también es un conjunto ordenado y donde además se cumplen las siguientes dos propiedades:
# <math>x+y < x+z, \ \forall x,y,z \in F</math> y <math>y < z</math>
# <math>x*y > 0 \ \forall x,y \in F</math> y <math>x>0,\ y > 0.</math>
[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
== Construcción de los conjuntos de números y sus propiedades. ==
=== Construcción de los conjuntos numéricos. (Capítulo en construcción) ===
'''Definición 5.1. Sucesión fundamental de conjuntos.''' La sucesión de conjuntos finitos: <math>\{ \}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}, \ldots</math>, en la cual comenzamos con el conjunto vacío y cada conjunto posterior al conjunto vacío tiene un elemento más que el inmediatamente anterior, representa la sucesión fundamental de los conjuntos finitos <ref>Aritmética Teórico Práctica. Aurelio Baldor. Cultural Centroamericana, S.A. Guatemala. 1974</ref>. Es claro que en esta sucesión no existen dos conjuntos distintos que sean equipotentes, por lo que dado un conjunto finito cualquiera, éste es coordinable con uno y solo un conjunto de la sucesión.
'''Definición 5.2. Construcción de los números naturales.''' El conjuto vacío es equipotente consigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la misma forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como <math>\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \},</math> donde el elemento <math>i</math>-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento <math>(i+1)</math>-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por <math>\mathbb{N}_0 := \{0,1,2,3,4,5,\ldots\} = \mathbb{N} \cup \{0\},</math>donde el número cero, simbolizado como <math>0</math>, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada".
'''Axioma 5.1. Propiedades de los números naturales bajo la adición.''' El conjunto de los naturales mas el número cero: <math>\mathbb{N}_0 \equiv \mathbb{N} \cup \{0\} = \{ 0,1,2,3,4,5, \ldots , \}</math> dotado de la operación binaria de la adición se representa como el par ordenado <math>( \mathbb{N}_0 , + )</math> y poseé las siguientes propiedades:
# '''Asociatividad:''' <math>\forall m,n,p \in \mathbb{N}_0</math> se tiene que <math>(m+n)+p = m+(n+p)</math>.
# '''Conmutatividad:''' <math>\forall m,n \in \mathbb{N}_0</math> resulta que <math>m+n=n+m</math> (el orden de los sumandos no altera la suma).
# '''Existencia del elemento neutro o identidad''' (bajo la adición): <math>\forall m \in \mathbb{N}_0 \ \exists \ 0 \in \mathbb{N}_0 : m + 0 = 0 + m = m</math>.
'''Definición 5.3. Cardinalidad de conjuntos.''' La cardinalidad de un conjunto <math>A </math> es la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto, donde, si es un conjunto finito, se define formalmente como el número perteneciente a <math>\mathbb{N}_0</math> que asociamos con el elemento de la sucesión fundamental que es coordinable con dicho conjunto <math>A</math>; y se simboliza como #<math>A </math>. Así pues, si <math>A </math> es finito y posee <math>n </math> elementos (con <math>n \in \mathbb{N}_0 </math>), entonces #<math>A=n </math>, y si <math>A </math> posee infinitos elementos, lo que significa que no es coordinable con ningún elemento de la sucesión fundamental, entonces se dice que #<math>A </math> es infinita.
'''Ejemplo 5.1.'''
# El conjunto de animales de Villa Fantasía del ejemplo '''2.1''' es finito y consta <math>5 </math> animales: #<math>A = 5 </math>.
# El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía (<math>L </math>) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: <math>L = \{ \} := \phi \rightarrow </math>#<math>L = 0 </math>.
# La cardinalidad del conjunto de los números naturales es infinita: #<math>\mathbb{N} </math> es infinita.
'''Definición 5.4. Construcción de los números enteros.''' En el axioma 5.1 vimos que los números naturales cumplen con tres propiedades bajo la suma, sin embargo no cuenta con números inversos. Así, si queremos efectuar la sustracción de dos números del conjunto <math>\mathbb{N}_0, </math> <math>m-n, </math>donde <math>n > m, </math>dicha resta no está definida en el conjunto <math>\mathbb{N}_0, </math>
== Referencias Bibliográficas. ==
| 