|
M170 BIOLOGIE BBBB
:[[File:FishEatingEalWithBroadJaws.JPG|thumb|Aal]]
:[[File:Anguilla anguilla.jpg|thumb|Aal]]
:Herkunft: Seit der Antike wird die Beweglichkeit des sich windenden Aales schon als Bild für eine schlechte Charaktereigenschaft benutzt.
== M171 - M180 ??? ==
M171 ???
:Schriftliche Addition
:
<center>
<div style="border:1pt">
{|
| || 3 || 1 || 6 || 5
|-
| + || 1 || 5 || 2 || 3
|-
| colspan=5 | <hr>
|-
| || 4 || 6 || 8 || 8
|}
</div>
</center>
:---
:{|
|3||4||2||7||8||9
|----
|5||1||4||3||3||5
|----
| || || || ||1
|----
| || || || || ||4
|}
:Erklärung: 9 + 5 = 14. Schreibe die 1 als Übertrag in die Hilfszeile und die 4 als Ergebnis in die Ergebniszeile:
:---
:Zwischenergebnis:
:{|
|3||4||2||7||8||9
|----
|5||1||4||3||3||5
|----
| || ||1||1||1
|----
| || ||7||1||2||4
|}
:---
:Endergebnis:
:{|
|3||4||2||7||8||9
|----
|5||1||4||3||3||5
|----
| || ||1||1||1
|----
|8||5||7||1||2||4
|}
M171a
:Schriftliche Addition
:---
:Bei dem Verfahren, das u. a. im deutschsprachigen Raum an den Grundschulen gelehrt wird, werden die zu addierenden Zahlen in der Darstellung des Dezimalsystems so übereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen (Einer über Einern, Zehner über Zehnern usw.). Die Ziffern werden dann – von rechts nach links – Stelle für Stelle addiert; das Zwischenergebnis wird unten notiert, jedoch nur die letzte Stelle. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so entstehen Überträge, die beim Abarbeiten der jeweils nächsten Spalte berücksichtigt werden müssen. Für die Durchführung des Verfahrens ist es erforderlich die Summen von Zahlen zwischen 0 und 9 auswendig zu wissen.
Beispiel:
<gallery>
File:Traditional Addition Step 1.JPG|2+1=3
File:Traditional Addition Step 2.JPG|5+7=12<br />Die 1 wird als Übertrag der nächsten (links benachbarten) Ziffernspalte zugeschlagen.
File:Traditional Addition Step 3.JPG|1+6+4=11
</gallery>
M172
:Schriftliche Subtraktion
:---
:In den Grundschulen werden heute meist Verfahren gelehrt, bei denen die einander entsprechenden Stellen der Minuenden und Subtrahenden ''übereinander'' stehen. Die Stellen werden nacheinander abgearbeitet, meist von rechts nach links.
:Für das schriftliche Subtrahieren muss der Minuend (Zahl oben) größer oder gleich dem Subtrahenden (Zahl(en) unten) sein. Negative Ergebnisse sind somit direkt nicht möglich.
:Wenn der Minuend doch kleiner ist als der Subtrahend, dann können die Vorzeichen zum Rechnen vertauscht werden. Der Subtrahend wird so zum Minuend (oben geschrieben) und der Minuend zum Subtrahend (unten geschrieben). Es kann dann mit den unten beschriebenen Verfahren gerechnet werden. Das Ergebnis muss aber zum Schluss mit einem Minus versehen werden, denn es ist immer negativ (keine natürliche Zahl). Damit wird der zuvor zum Berechnen durchgeführte Vorzeichenwechsel wieder rückgängig gemacht.
:Wenn die einzelnen Stellen der Subtrahenden größer sind als die gleichen Stellen der Minuenden, müssen Überträge gehandhabt werden. Das heißt, der Minuend wird, um die Subtraktion zu ermöglichen, um 10 erhöht; um dies auszugleichen, muss in der links benachbarten Spalte entweder der Minuend erniedrigt (Entbündelungsverfahren; Vorabberechnung der Überträge) oder der Subtrahend erhöht werden (Ergänzungsverfahren; Subtraktion von rechts nach links). Im deutschsprachigen Raum hat sich mit dem Ergänzungsverfahren die letztgenannte Vorgehensweise durchgesetzt. Im Jahr 2000 trat in einigen Bundesländern ein neuer Lehrplan in Kraft, der nun statt des Ergänzens das Entbündeln als Standard vorschreibt.
M172a
:Schriftliche Subtraktion
:---
:Ergänzungsverfahren:
:Beim Ergänzungsverfahren, das auch Auffülltechnik oder (in den USA) ''Austrian method'' („Österreichische Methode“) genannt wird, wird keine Subtraktion vorgenommen, sondern der Subtrahend umgekehrt bis zum Minuenden ''erhöht''. Falls dies nicht möglich ist, wird der Minuend um 10 erhöht. Die 10 wird nicht „geborgt“, sondern als 1 zum Subtrahenden der nächsten Teilberechnung addiert. Im deutschsprachigen Raum wird dieses Verfahren an den Grundschulen als Standardmethode gelehrt. Einer der Vorteile des Verfahrens besteht darin, dass es den Umgang mit Aufgaben vorbereitet, bei denen von einem Minuenden mehrere Subtrahenden abgezogen werden sollen.
;Beispiel
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!||Beschreibung
|-
|<math>\begin{array}{r}75{\color{red}3}\\-\underset{ }{4}9{\color{red}1}\\\hline\end{array}</math>
|1 + … = 3
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{ }{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{ }{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|9 + … = 5<br>Die angepeilte Summe (5) ist zu klein!
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{\color{red}1}{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Sie wird darum um 10 erhöht. Die 1 wird unter den nächsten Subtrahenden geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{\color{red}1}{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}62}\end{array}</math>
|9 + … = 15<br>Die Berechnung kann jetzt durchgeführt werden, das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}{\color{red}7}53\\-{\color{red}\underset{1}{4}}91\\\hline
{\color{Gray}62}\end{array}</math>
|(4 + 1) + … = 7
|-
|<math>\begin{array}{r}{\color{red}7}53\\-{\color{red}\underset{1}{4}}91\\\hline
{\color{Gray}262}\end{array}</math>
|Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}753\\-\underset{1}{4}91\\\hline
{\color{Gray}262}\end{array}</math>
|Das Gesamtergebnis.
|}
M173
:Schriftliche Multiplikation
:---
:Schriftliche Multiplikation ist ein Rechenverfahren (Algorithmus), mithilfe dessen eine Multiplikation zweier mehrstelliger Zahlen durch eine schriftliche Darstellung ausgeführt werden kann. Im Folgenden wird das Verfahren für natürliche Zahlen beschrieben. Die Erweiterung auf reelle Zahlen mit endlicher Anzahl an Dezimalstellen erfolgt anschließend.
:---
:Beispiel:
:Als Beispiel nehmen wir die Zahlen <math>a = 8642</math> und <math>b = 9731</math>. Dann ergibt das die Teilschritte
:<math>(8 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 ) \cdot ( 9 \cdot 10^3)</math>
:<math>(8 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 ) \cdot ( 7 \cdot 10^2)</math>
:<math>(8 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 ) \cdot ( 3 \cdot 10^1)</math>
:<math>(8 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 ) \cdot ( 1 \cdot 10^0)</math>
:also
:<math>(8000 + 600 + 40 + 2) \cdot 9000</math>
:<math>(8000 + 600 + 40 + 2) \cdot 700</math>
:<math>(8000 + 600 + 40 + 2) \cdot 30</math>
:<math>(8000 + 600 + 40 + 2) \cdot 1</math>
:Mit Hilfe einer versetzten Platzierung der Werte auf bevorzugt kariertem Papier kann man das Notieren der Zehnerpotenzen (in den Grafiken rot dargestellt) einsparen. Unter Verwendung des kleinen Einmaleins und Addition erhält man für die Zeilen:
:[[File:SchriftlicheMultiplikation1.svg|1180px]]
:Das ganze Schema mit verkürzter Notation der Zeilen ist dann:
:[[File:SchriftlicheMultiplikation2.svg|373px]]
:Damit ist die Multiplikation vollständig durchgeführt.
174
:Schriftliche Division
:---
:Beispiel:
:12 : 4 = 3
:Dividend : Divisor = Quotient
:---
:Division natürliches Zahlen:
:'''Beispiel:''' Dividiere 1066442 durch 13. Die Division geht auf.
:*Schreibe die Aufgabenstellung als Zeile an.
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =
|}
:Überlege, welche der ersten Ziffern eine Zahl bilden, die groß genug ist, geteilt zu werden: Hier ist dies 106:
:{|
|'''1'''||'''0'''||'''6'''||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =
|}
:*Dividiere die gefundene Zahl und schreibe das Ergebnis ohne Rest nach dem Gleichheitszeichen. Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor, schreibe es unter die dividierte Zahl. Bilde den Rest durch die Differenz:
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2
|}
:*Hole nun die nächste Ziffer von oben:
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2||6
|}
:*Dividiere die neue Zahl und wiederhole das Anschreiben des Ergebnisses und der Restdifferenz:
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8||2
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2||6
|----
| || ||2||6
|----
| || ||_||_
|----
| || || ||0
|}
:*Hole wieder die nächste Ziffer von oben:
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8||2
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2||6
|----
| || ||2||6
|----
| || ||_||_
|----
| || || ||0||4
|}
:*Da in diesem Falle die Zahl nicht geteilt werden kann, weil sie zu klein ist, schreibe als Ergebnis eine 0 auf:
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8||2||0
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2||6
|----
| || ||2||6
|----
| || ||_||_
|----
| || || ||0||4
|}
:*Hole die nächste Ziffer von oben und wiederhole die oben genannten Schritte so lange, bis am Ende eine Null als verbleibende Differenz übrigbleibt, und keine Ziffern mehr von oben geholt werden können.
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8||2||0
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2||6
|----
| || ||2||6
|----
| || ||_||_
|----
| || || ||0||4||4
|}
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8||2||0||3
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2||6
|----
| || ||2||6
|----
| || ||_||_
|----
| || || ||0||4||4
|----
| || || || ||3||9
|----
| || || || ||_||_
|----
| || || || || ||5
|}
:{|
|1||0||6||6||4||4||2|| :|| 1||3|| =|| 8||2||0||3||4
|----
|1||0||4
|----
|_||_||_
|----
| || ||2||6
|----
| || ||2||6
|----
| || ||_||_
|----
| || || ||0||4||4
|----
| || || || ||3||9
|----
| || || || ||_||_
|----
| || || || || ||5||2
|----
| || || || || ||5||2
|----
| || || || || ||_||_
|----
| || || || || || ||0
|}
M175
[[File:Division Schriftlich.jpg|thumb|300px]]
:Division mit Rest
:---
:Wir teilen 351 durch 4.<br>
:351 ist der '''Dividend''', 4 ist der '''Divisor'''.
<pre>
351 : 4 =
</pre>
:Wir beginnen von links aus zu suchen, welchen möglichst kurzen Abschnitt des Dividenden wir durch den Divisor teilen können.<br>
:Drei lässt sich nicht durch 4 teilen. Der erste Abschnitt, den wir durch 4 teilen können, sind die Ziffern 35 ganz links.<br>
:35 durch 4 ist 8, denn 8 mal 4 ist 32, und es bleibt der Rest 35 − 32 = 3.
<pre>
351 : 4 = 8
32
--
3
</pre>
:Nun ziehen wir die nächste Ziffer des Dividenden, die 1, zum Rest hinunter, das ergibt 31.<br>
:Jetzt wird die 31 durch 4 geteilt.
:Das ergibt 7, denn 7 mal 4 ist 28, und es bleibt der Rest 31 − 28 = 3.
<pre>
351 : 4 = 87
32
--
31
28
--
3
</pre>
:Alle Ziffern des Dividenden sind nun verarbeitet. Wir sind fertig:
<pre>
351 : 4 = 87 Rest 3
32
--
31
28
--
3
</pre>
M176
:Division mit mehrstelligem Divisor:
:---
:Ist der Divisor größer als 10, so reicht das kleine Einmaleins nicht aus, um die jeweils nächste Stelle des Ergebnisses zu bestimmen. Wir finden den passenden Zahlenwert durch Schätzen und Probieren:
13063:32 = … -- 1:32 und 13:32 "gehen" nicht. 130:32 ist sicher mehr als 3:
13063:32 = 3… -- 3·32 rechnen wir im Kopf:
96
--
34 -- der Rest ist 34 und damit größer als der Divisor; also geht 32 sogar 4-mal in 130!
:Wir haben also zu niedrig geschätzt, streichen die letzten beiden Zeilen und beginnen neu:
13063:32 = 4… -- 4·32 rechnen wir im Kopf oder wie bei der schriftlichen Multiplikation: 4·2=8; 4·3=12;
128
---
26 -- der Rest ist 2; die "heruntergeholte" 6 gibt 26; 26:32 "geht" nicht; wir schreiben im Ergebnis eine Null an:
13063:32 = 40…
:Nun können wir noch "0·32=0" rechnen und die Rechnung so fortführen:
26
0
--
26
:Der geübte Rechner sieht aber, dass sich an der 26 nichts ändert, und holt - nachdem er die 0 angeschrieben hat! - sofort die 3 herunter:
13063:32 = 40…
128
---
263 -- 263:32 schätzen wir auf ungefähr 8. Wir rechnen 8·2=16, Merkzahl 1, 8·3=24, 24+1=25; also: 256
256
:Es bleibt ein Rest von 7, und die fertige Rechnung sieht so aus:
13063:32 = 408 Rest 7
128
---
263
256
---
7
: - oder <math> 13063 : 32 = 408 \tfrac7{32}</math>, oder 13.063 = 32·408+7, wie oben erläutert.
M177
:Divison mit Nachkommastelle
:---
:Wenn wir anstatt einer ganzen Zahl und eines Restes als Ergebnis lieber einen Dezimalbruch haben wollen, schreiben wir hinter das bisherige Resultat ein Komma und rechnen einfach weiter wie bisher, wobei wir an den jeweils letzten Rest immer eine Null rechts anhängen.<br>
<pre>
950 : 4 = 237,5
8
-
15
12
--
30
28
--
20 -- hier bleibt ein Rest von 2; es wird aber kein Rest angeschrieben, sondern ein Komma; dann wird eine 0 "heruntergeholt".
20 - 20:4 geht 5-mal…
--
0 -- …und zwar ohne Rest, deshalb ist die Rechnung hier zu Ende.
</pre>
M178
:Division von Dezimalzahlen
:---
:Ist der Dividend eine Dezimalzahl (und der Divisor eine natürliche Zahl), so wird zunächst geprüft, ob sein ganzzahliger Teil sich durch den Divisor teilen lässt. Ist dies der Fall, so dividiert man zunächst wie gewohnt. Sobald vom Dividenden eine Ziffer ''hinter'' dem Komma „herunterzuholen“ ist, wird im Ergebnis ein Komma gesetzt.
:Ist der ganzzahlige Teil des Dividenden kleiner als der Divisor, so wird im Ergebnis eine Null angeschrieben und dahinter ein Komma. Dann werden die Nachkommastellen des Dividenden (eine nach der anderen!) „heruntergeholt“. Sooft das Ergebnis kleiner bleibt als der Divisor, wird eine weitere Null im Ergebnis angefügt. Danach verläuft die Rechnung wie oben beschrieben.
:Beispiel:
1,8:5 = ?? ----- 1:5 „geht nicht“ - also: „0,...“ anschreiben und eine Nachkommastelle „herunterholen“:
1,8:5 = 0,?? ----- 18:5 „geht“, und zwar 3-mal:
1 8
1,8:5 = 0,3? ----- Der „Rest“ ist 3 — eine „unsichtbare“ 0 wird „heruntergeholt“.
1 5
---
30 ----- 30:5 „geht“ 6-mal, und zwar ohne Rest; deshalb ist die Rechnung jetzt zu Ende:
1,8:5 = 0,36
1 5
---
30
30
--
0
:Ist (auch) der Divisor eine Dezimalzahl, so muss zunächst das Komma verschoben werden, und zwar
#so, dass der Divisor eine ganze Zahl wird,
#gleichsinnig — das heißt in diesem Falle beim Dividenden und beim Divisor nach rechts, und
#um gleich viele Stellen.
:Hat der Dividend weniger Nachkommastellen als der Divisor, so müssen beim Dividenden entsprechend viele Nullen angefügt werden.
:Danach wird dividiert, wie oben beschrieben.
<pre>
4 : 1,6 =
40 : 16 = 2,5
32
--
80
80
--
0
</pre>
:Die „Babylonische Sprachverwirrung“ hat als Redewendung – als Sinnbild für das Aufeinandertreffen mehrerer Sprachen – Eingang in den allgemeinen Sprachgebrauch gefunden.
:So wird mitunter bei der Berichterstattung über die Verwaltung der Europäischen Union in Brüssel auf die „Babylonische Sprachverwirrung“ Bezug genommen, wo sich auf Grund der sprachlichen Vielfalt Mehrarbeiten und -kosten ergeben.
:Die Redewendung wird auch im positiven Sinn verwendet, so gibt es beispielsweise eine Science-Fiction-Serie, in der die (titelgebende) Raumstation Babylon 5 Treffpunkt für unterschiedliche Völker ist, eine literarische Figur namens BabelfischBabbelfisch und Übersetzungsprogramme mit dem Namensbezug, wie „Babel Fish“ oder „Babylon Translator“.
:---
:Babylon Translator
:Mit Babylon Translator wurde 1997 das von Bill Gates propagierte Motto „Information at your fingertips“ umgesetzt, das eine allgemeine, schnelle Zugänglichkeit von Informationen mit Hilfe von an Netzwerke angeschlossenen Computern als Vision enthielt. Ein einfacher Mausklick in Babylon auf ein Schlüsselwort liefert durch Integration unterschiedlichster Nachschlagewerke dessen Übersetzung in andere Sprachen, die Bedeutung von Abkürzungen usw.
:---
:Babel Fish war eine Webanwendung von Yahoo zur automatischen Übersetzung von Texten. Der Name war eine Anlehnung an den BabelfischBabbelfisch aus Douglas Adams’ Roman Per Anhalter durch die Galaxis. Am 30. Mai 2012 stellte Yahoo den Dienst ein und leitet Anfragen auf die Seite von Microsofts Bing Translator um.
:Mit Babel Fish konnten kurze Textfragmente (bis zu 150 Wörter) und Webseiten übersetzt werden. Das Ziel von Babel Fish war es, dem Leser eine kostenlose schnelle „Informativübersetzung“ eines fremdsprachigen Textabschnitts in die eigene Sprache zu ermöglichen. Babel Fish war nicht dazu geeignet, Texte korrekt in eine dem Benutzer unbekannte Fremdsprache zu übersetzen.
M182 ???
:Mengenoperationen
:Operationen mit Mengen
:---
:Mann kann aus den Mengen M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> eine neue Menge bilden, die Vereinigungsmenge von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub>. Man schreibt dafür:
:<math> M_1 \cup M_2 </math>
:---
:Allgemein gilt:
:'''Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die Elemte von A oder Element von B sind.'''
:Man verwendt für „oder“ das Symbol ∧. Deshlab kann man kürzer schreiben:
:<math> \forall x \in A \cup B: x \in A \land x \in B </math>.
:Diesen Zusammenhang kann man graphisch durch drei Mengendiagramm darstellen:
:[[File:Vereinigungsmenge zweier Mengen PD 2107.svg|thumb|350 px|Vereinigungsmenge zweier Mengen]]
<br style="clear:both;" />
:Man erkennt am unteren Mengendiagramm die mathematische Bedeutung des Wortes „oder“.
:„<math> x \in A </math> oder <math> x \in B </math>“ ist wahr für:
:1. <math> x \in A </math> und <math> x \notin B </math>
:2. <math> x \notin A </math> und <math> x \in B </math>
:3. <math> x \in A </math> und <math> x \in B </math>
:---
:Allgemein gilt:
:„H<sub>1</sub> oder H<sub>2</sub>“ ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.
:Beachten Sie, dass „H<sub>1</sub> oder H<sub>2</sub>“ auch wahr ist, wenn H<sub>1</sub> wahr ist und wenn H<sub>2</sub> wahr ist.
:Man kann auch nach den gemeinsamen Elementen von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> fragen. Diese Elemente bilden auch eine Menge. Es ist die Durchschnittsmenge der Mengen M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub>. Man schreibt dafür
:<math> M_1 \cap M_2 = \{7; 8\}</math>
:---
:Begriff aus der mengelehre:
:Allgemein gilt:
:'''Die Durchschnittsmenge von A und B besteht aus allen Elementen, die Element von A und Element von B sind.'''
:Mit anderen Worten: Wenn <math> x \in A \cap B </math>, so ist <math> x \in A </math> und <math> x \in B </math>.
:<math> \forall x \in A \cap : x \in A \land x \in B </math>.
M183
:M<sub>1</sub> = {9; 10}
:M<sub>2</sub> = {0; 22; 27}
:---
:Betrachten Sie die Mengen M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub>! Die Durchschnittsmenge von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> ist eine Menge, die aus keinen Elementen besteht. Diese Menge heißt die leere Menge. Men benutzt für sie das Symbol „∅“ oder „<math>\emptyset</math>“.
:---
:Allgemein gilt:
:Die leere Menge ist eine Teilmenge von jeder Menge A.
:<math> \forall A : \emptyset \subseteq A </math>.
:---
:Beachten Sie: {0} ≠ ∅
:Jede Menge A hat also mindestens zwei Teilmengen: die Menge A selbst und die leere Menge. Diese beiden Mengen nennt man auch die ''trivialen'' Teilmengen der Menge A.
:Man kann noch die Diferenzmenge von zwei Mengen A und B bilden. Man schreibt dafür: A\B. Man liest: „Die Differenzmenge von A und B“.
:'''Die Differenzmenge A\B besteht aus allen Elementen, die Element von A und kein Element von B sind.'''
:<math> x \in A \backslash B \to x \in A \land x \notin B </math>.
:<math> \forall x \in A \backslash B : x \in A \land x \notin B </math>.
:Beispiele:
:M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:M<sub>4</sub> = {9; 10}
:M<sub>3</sub> \ M<sub>1</sub> = {7; 8}
:M<sub>1</sub> \ M<sub>4</sub> = {4; 5; 6}
:M<sub>4</sub> \ M<sub>2</sub> = ∅
M184
:Negation
:---
:In der formalen Logik versteht man unter Negation üblicherweise die Satzverneinung, also eine Operation, durch die der Wahrheitswert einer Aussage (eines Satzes) in sein Gegenteil gekehrt wird; auch hier kann mit der Bezeichnung „Negation“ der sprachliche Ausdruck der Verneinung (zum Beispiel das Negationszeichen „¬“ oder die Formulierung „es ist nicht der Fall, dass …“) gemeint sein.
:---
:In der klassischen Logik, in der genau zwei Wahrheitswerte ''wahr'' und ''falsch'' – betrachtet werden, ist die Negation unmittelbar als Umkehrung des Wahrheitswertes in sein Gegenteil fassbar: Wenn man eine wahre Aussage verneint, dann entsteht eine falsche Aussage; verneint man hingegen eine falsche Aussage, so entsteht eine wahre Aussage.
:---
:Gebräuchliche Schreibweisen für die Negation einer Aussage a sind <math>\lnot a</math>, <math>{\sim}a</math>, <math>\overline a</math> und <math>a'</math>.
:---
:In der klassischen Logik hat die Negation unter anderem folgende Eigenschaften:
:* Die doppelte Verneinung einer Aussage hat stets denselben Wahrheitswert wie die unverneinte Aussage, das heißt Aussagen der Form <math>P</math> und <math>\neg\neg P</math> sind stets äquivalent (Prinzip der doppelten Negation).
:* Eine Aussage der Form <math>P\vee\neg P</math> ist stets wahr beziehungsweise gültig („Satz vom ausgeschlossenen Dritten“).
:* Eine Aussage der Form <math>P\wedge\neg P</math> ist stets falsch beziehungsweise ungültig („Satz vom Widerspruch“).
M185
:Wie viel Elemente hat die Menge B = {4; 5; 6; 7; 8}?
:Warum ist A = {9; 10} eine endliche Menge?
:Unter welchen Bedingungen sind zwei Mengen gleich?
:Was für eine Menge ist die Menge der natürlichen Zahlen?
:Unter welchen Bedingungen sit die Menge C eine Teilmenge der Menge D?
:Kann eine unendlichen Menge eine unendlichen Teilmenge haben?
:---
:Kann eine endlichen Menge eine unendlichen Teilmenge haben?
:Wie liest man den Ausdruck: „<math> X \to Y </math>“?
:Wie liest man: „<math> \forall x \in R: \dots </math>“ und „<math> \lnot \forall \in R: \dots </math>“?
:Was für Zahlen sind 2n und 2n+1, wenn n ∈ ℕ?
:Wie liest man: „<math> \exists x \in R : \dots </math>“ und „<math> \lnot \exists x \in R : \dots </math>“?
:Wie ist die Vereinigungsmenge <math> K \cup P </math> der Mengen K und P erklärt?
:---
:Unter welchen 3 Bedingungen ist „<math> x \in A \land x \in B </math>“ wahr?
:Wie ist die Durchschnittsmenge <math> M \cap N </math> der Mengen M und N erklärt?
:Was versteht man unter der leeren Menge?
:Welche trivialen Teilmengen hat jede Menge M?
:Aus welchen Elementen besteht die Differenzmenge M \ N der Mengen M und N?
:Wie liest man „<math> K \subseteq R \to K \backslash R = \emptyset </math>“?
:Ist 6,3 eine gerade oder eine ungerade Zahl?
M186
:Lesen Sie!
:---
:Beispiel
:a) „<math> a \in N </math>“ und „<math> b, c \notin M </math>“
:(a ist ein Element aus N, und b und c sindkeine Elemente aus M.)
:---
:b) „<math> r \in N </math>“ und „<math> p, q \notin N </math>“
:c) „<math> a, b, c \notin N </math>“, aber „<math> s \in N </math>“
:d) „<math> m, n \in N </math>“ und „<math> p, q \in M </math>“
:d) „<math> r \notin R </math>“ und „<math> t \in T </math>“
:---
:C = {4; 5; 6; 7}
:D = {7; 8; 9; 10}
:„<math> 4 \in C </math>“, aber „<math> 4 \notin D </math>“
M187
:N = {0; 1; 2; 3; 4; ... ; n; ...}
:Die Menge N hat unendlich viele Elemente.
:Die Menge N besteht aus unendlich vielen Elementen.
:---
:
:N<sub>u</sub> = {1; 3; 5; 7; ... ; 2n+1; ...}
:Die Menge N<sub>u</sub> hat unendlich viele Elemente. (u steht für ungerade Zahlen)
:---
:S = {2; 4; 6; 8; 10; 12; ...}
:T = {2; 4; 6; 8; 10; 12}
:Die Menge S hat endlich viele Elemente.
:Die Menge S hat 6 Elemente.
M188
:Lesen Sie!
:---
:Beispiel:
:<math> \forall x \in N_g : x \in N </math>
:Für alle Element x aus N<sub>g</sub> gilt, dass x ein Element aus ℕ ist.
:Für jedes Element x aus N<sub>g</sub> gilt, dass x ein Element aus ℕ ist.
:---
:<math> \forall x \in N_u : x \in N </math>
:<math> \forall x \in N_u : x \notin N_g </math>
:<math> \forall g \in N_u : (x \notin N_g \wedge g \in N ) </math>
:<math> \lnot \forall x \in N : x \in N_u </math>
:<math> \lnot \forall x \in N : x \in N_g </math>
M189
:'''wenn ..., so ...'''
:---
:Lesen Sie!
:---
:<math> (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \to A \subseteq C </math>
:Wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn B eine Teilmenge von C ist, so ist A eine Teilmenge von C.
:---
:<math> (x \in G \wedge G \subseteq K) \to x \in K </math>
:<math> (x \in K \wedge x \notin S) \to (x \notin K \cap S)</math>
:<math> (x \in A \cup B) \to (x \in A \vee x \in B)</math>
:<math> K \subseteq R \to (\forall x \in K : x \in R) </math>
M190
:'''es gibt mindestens ein ..., so dass ...'''
:---
:Lesen Sie!
:---
:<math> \exists x \in N : x \in N_g </math>
:Es gibt mindestens ein Element x in N, so dass x ein Element N<sub>g</sub> ist.
:---
:<math> \exists x \in N : x \notin N_g </math>
:<math> \exists t \in N_g : t \in N </math>
:<math> \lnot \exists x \in N_g : x \in N_u </math>
== M191 - M200 ==
M191
:Teilmenge
:echte Teilmenge
:---
:A = {1; 2; 3; 4}; B = {1; 2; 3}
:Die Menge B ist eine echte Teilmenge der Menge A.
:<math> B \subset A</math>
:---
:C = {6; 14}; D = {6; 14}
:Die Menge D ist eine echte Teilmenge der Menge C.
:<math> D \subseteq C</math>
M192
:Bilden Sie aus den gegebenen Mengen die Vereinigungsmenge, die Durchschnittsmenge und die Differenzmenge!
:---
:A = {1; 2; 3; 4}; B = {5; 6; 7}
:<math> A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}</math>
:<math> A \cap B = \emptyset </math>
:<math> A \backslash B = \{1; 2; 3; 4\}</math>
:<math> B \backslash A = \{5; 6; 7\}</math>
:---
:M = {3; 4; 7}; N = {3; 4; 8}
:R = {4; 5; 6}; S = {4; 5; 6}
:P = ∅; T = {1; 2; 3}
:K = {1; 2; 3; 4; 5}; L = {3; 4}
:C = {4; 5; 6; 7; 8}; F = {7; 8; 9; 10}
:---
:Betrachten Sie außerdem für die Mengen C und F die Elemente 4; 5; 7 und 9!
:<math> {4} \in C \cup F </math>,
:<math> {4} \notin C \cap F </math>,
:<math> {4} \in C \backslash F </math>,
:<math> {4} \notin F \backslash C </math>.
M193
:Scheiben Sie die folgenden Ausdrücke in Worten, und zeichnen Sie die Mengendiagramme!
:Prüfen Sie die Wahrheit der Aussagen!
:---
:Beispiel:
:<math> A \cap B = \emptyset \to \lnot \exists x \in A : x \in B </math> (wahr)
:Wenn die Durchschnittsmenge von A und B die leere Menge ist, so gibt es kein Element x aus A, so dass x ein Element aus B ist (wahr)
:---
:Beispiel:
:<math> \forall x \in A : x \in B \to A \subset B </math> (falsch)
:Wenn für alle Elemente x aus A gilt, dass x ein Element aus B ist, so ist A eine echte Teilmenge von B. (falsch)
:---
:1.) <math> A \subseteq B \to A \cap B = A </math>
:2.) <math> ( \forall x : x \in A \wedge x \in B) \to A = B </math>
:3.) <math> x \in A \cup B \to x \in A \vee x \in B </math>
:4.) <math> A \subseteq B \to A \cap B = \emptyset </math>
:5.) <math> A \cup B = \emptyset \to A = \emptyset \wedge B = \emptyset </math>
:6.) <math> A \cap B = \emptyset \to \forall x \in A : x \in B </math>
:7.) <math> A \cap B \ne \emptyset \to A \ne \emptyset \wedge B \ne \emptyset </math>
:8.) <math> A \subset B \to (\forall x \in A : x \in B \wedge \exists x \in B : x \notin A) </math>
:9.) <math> x \in B \cup B \to ( x \in B \wedge x \notin A ) \vee (x \notin B \wedge x \in A) </math>
:10.) <math> A = \emptyset \to \lnot \exists x \in A </math>
:11.) <math> A = B \to (\forall x \in A : x \in B \wedge \forall x \in B : x \in A) </math>
:12.) <math> A \cup B = B \to A \cap B = B </math>
:13.) <math> A \subseteq B \to A \backslash B = A </math>
:14.) <math> A \backslash B = A \to B = \emptyset </math>
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"
|-
!Lösung ???
|-
|
:
|}
M194
:Wenn die Ausagen der Übung M193 falsch sind, dann korrigieren Sie die rechten Seiten der Aussagen, so dass wahre Aussagen entstehen!
:---
:Beispiel:
:<math> \forall x \in A : x \in B \to A \subset B </math> (falsch)
:<math> \forall x \in A : x \in B \to A \subseteq B </math> (wahr)
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"
|-
!Lösung ???
|-
|
:
|}
M195
:Die Bedeutung des Wortes „oder“ in der Mathematik.
:---
:A = {0; 1; 2; 3}; B = {2; 3; 4; 5;6}
:---
:Beispiel:
:Ist der Ausdruck wahr?
:<math> 1 \in A </math> oder <math> 1 \in B </math>
:„<math> 1 \in A </math> oder <math> 1 \in B </math>“ ist wahr, weil „<math> 1 \in A </math>“.
:---
:1.) <math> 0 \in A </math> oder <math> 0 \in B </math>
:2.) <math> 5 \in A </math> oder <math> 5 \in B </math>
:3.) <math> 7 \in A </math> oder <math> 7 \in B </math>
:4.) <math> 2 \in A </math> oder <math> 2 \in B </math>
:5.) <math> 3 \in A </math> oder <math> 3 \in B </math>
:6.) <math> 0 \notin A </math> oder <math> 0 \notin B </math>
:7.) <math> 5 \notin A </math> oder <math> 5 \notin B </math>
:8.) <math> 7 \notin A </math> oder <math> 7 \notin B </math>
:9.) <math> 2 \notin A </math> oder <math> 2 \notin B </math>
:10.) <math> 3 \notin A </math> oder <math> 3 \notin B </math>
:(Wehrdienst)
:(Ersatzwehrdienst)
:(Zivi = ZivilddienstZivildienst-Leistender)
:(sich wehren)
:(Reichswehr)
:(einberufen - Einberufung)
:Alle drei wollen nicht zur Bundeswehr. Und da sagt der Wolf zum Hasen: „Weißt du was? Dir schneiden wir die Ohren ab und dann wirst du ausgemustert.“
:Sie schneiden dem die Oren ab. Er geht rein (nei), kommt raus, sagt: „Ausgemustert. haseHase ohne Ohren wid nicht (net) genommen.“
:Da sagt der Bär: „Du Wolf, weißt du was? Dir schneiden wir den (de) Schwanz ab. Ein Wolf ohne Schwanz wird auch (a) nicht (net) genommen (g'nomme).“ Schwanz ab, Wolf rein (nei), wieder raus, ausgemustert.
:Da sagt der Hase (Has): „Was machen wir jetzt mit dem Bär (Bären)?“ Da sagt der Wolf: „Du, weißt du was? Ich habe eine (ne) Idee. Wir schlagen dem alle Zähne aus.“ Der holt so eine Dachlatte aus dem Vorgarten und haut dem Bär (Bären) alle Zähne aus. Der geht rein (nei) zur Musterung. Viertel Stunde später kommt er raus. Da sagt der Wolf: „Und, wirst Du genommen?“
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