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M109 ???
:'''Mathematik - Natürliche Zahlen'''
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:Eigenschaften der Menge ℕ
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:Die natürlichen Zahlen und die Operationen mit ihnen wie z. B. das Addieren, das Subtrahieren und das Multiplizieren haben ihren Ursprung in der alltäglichen Praxis.
:In der realen Welt existieren Mengen von realen Objekten, und die Menschen haben in langer geschichtlicher Entwicklung das rein quantitative Charakterisieren dieser Mengen durch natürliche Zahlen gelernt.
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:So werden unabhängig von ihrer qualitativen Zusammensetzung alle Mengen mit der gleichen Anzahl von Objekten durch die gleich natürliche Zahl quantitativ charakterisiert. Die Praxis hat von den Menschen verlangt, dass sie Mengen von realen Objekten quantitativ vergleichen und mehrere Mengen zu einer einzigen vereinigen können. Es war also die jahrhundertelange Praxis der Menschen im Bilden und Vergleichen von Mengen realer Objekte, die zu den abstrakten Begriffen wie z. B. „natürliche Zahl“, „kleiner“, „größer“, „gleich“, „addieren“, „subtrahieren“ und „multiplizieren“ führte.
M110
:Durch Vergleichen der natürlichen Zahlen und durch Ausführen von Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen erkennt man die Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen.
:Die Menge N der natürlichen Zahlen hat unendlich viele Elemente. Das erste Element ist die Zahl „null“, das nächste die Zahl „eins“. Dann folgt die Zahl „zwei“ usw.
:Die Menge N ist eine unendliche Menge.
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:Die Menge N hat noch andere wichtige Eigenschalten:
:1.)
::Wenn n und m zwei beliebige natürliche Zahlen sind, so ist entweder n < m (n kleiner als m) oder n > m oder n = m.
:: ∀n, m , k ∈ ℕ: entweder n < m oder n = m oder n > m
:2.)
::Wenn für drei natürliche Zahlen n, m und k die Relationen r < m und m < k gelten, so ist auch n < k.
:: ∀n, m , k ∈ ℕ: [(n < m ∧ m < k) → n < k]
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:Wenn eine Menge diese Eigenschaft besitzt, so nennt man sie eine geordnete Menge.
:Die Menge ℕ der natürlichen zahlen ist eine unendliche, geordnete Menge.
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:Aus der Relation n < m fo1gt, dass m > n (m größer als n) ist.
:n ≦ m (gelesen: n kleiner oder gleich m) heißt, dass n < m oder n = m ist.
:Die Negation von n < m ist die Relation n ≧ m. Entsprechend ist die Negation von n ≦ m die Relation n > m. n ≠ m liest man: „n ungleich m“.
== M111 - M120 ==
M111
[[File:Number line with 0 and 1.svg|thumb|der Zahlenstrahl, die Zahlengerade]]
[[File:Number line with numbers -3 to 3.svg|thumb|der Zahlenstrahl, die Zahlengerade]]
[[File:Zahlenstrahl2.gif|thumb|der Zahlenstrahl, die Zahlengerade]]
:Geometrische Darstellung der natürlichen Zahlen
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:Man kann die natürlichen Zahlen auf einer Geraden darstellen. Man ordnet der Zahl 0 einen beliebigen Punkt P<sub>0</sub> der Geraden zu. Man ordnet der Zahl 1 einen Punkt P<sub>1</sub> zu.
:In den gleichen Abständen l (<math>\overline{P_0 P_1}</math>) werden weitere Punkte gewählt.Dadurch kann man jeder natürlichen Zahl genau einen Punkt dieser Zahlengeraden zuordnen. Man kann aber nicht jedem Punkt auf der Zahlengeraden eine natürliche Zahl zuordnen.
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:'''Zahlengerade'''
:Unter Zahlengerade versteht man im Mathematikunterricht die Veranschaulichung der natürlichen und reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden.
:Die Zahlengerade dient zur Veranschaulichung der natürlichen und reellen Zahlen.
:Die Zahlengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden.
M112
:'''Mathematik - Grundrechenarten in der Menge ℕ'''
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:'''Addition'''
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:Durch die Addition ordnet man zwei gegebenen natürlichen Zahlen n und m eine dritte Zahl s zu. Man schreibt n + m = s. Die Glieder n und m heißen Summanden, n + m (n plus m) ist die Summe aus n und m, sie hat den Wert s.
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:Die Addition in N hat folgende Eigenschaften:
::1.) Wenn man eine beliebige natürliche Zahl m zu einer beliebigen natürlichen Zahl n addiert, so erhält man wieder eine natürliche Zahl s. Die Addition ist in der Menge N stets ausführbar.
::∀n, m ∈ ℕ: ∃s ∈ ℕ: n + m = s
::2.) Wenn man m zu n addiert, so gibt es genau ein Resultat s.
::∀m, n ∈ ℕ: ∃!!s ∈ ℕ: n + m = s
::Die Addition in der Menge N ist eine eindeutige Operation.
::3.) Bei Summen aus mehr als zwei Summanden spielt es keine Rolle, welche Summanden man zuerst addiert. Für die Addition gilt das Assoziativgesetz:
::n + m + k = (n + m) + k = n + (m + k)
::4.) Der Wert einer Summe ändert sich nicht, wenn man die Summanden miteinander vertauscht.
::Für die Addition gilt das Kommutativgesetz:
::n + m = m + n
M113
:<font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>: Die Temperatur beschreibt den Wärmezustand eines Körpers. Je größer die Energie der Atome und Moleküle eines Körpers ist, desto höher ist seine Temperatur.
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:Wenn mannman einen Körper abkühlt, so verringert sich die Energie der Teilchen. Die Temperatur des Körpers fällt. Zum kleinsten Wert der Energie der Teilchen gehört die tiefste Temperatur. Die tiefste Temperatur, die theoretisch möglich ist, nennt man den absoluten Nullpunkt.
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:Die Temperatur ist eine physikalische Größe. Physikalische Größen braucht man zur genauen Beschreibung physikalischer Vorgänge und Zustände.
M126 ???
[[File:Subtraction01.svg|thumb|Subtraktion 5−2=3 am Beispiel von Pfirsichen.]]
:'''Mathematik'''
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:'''Subtraktion'''
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:Subtraktion ist eine Rechenart in der Mathematik. Dabei zieht man von einer Zahl eine andere ab. Das Rechenzeichen dafür ist das Minus, das durch den Minusstrich - aufgeschrieben wird. Dieses Zeichen hat sich im Jahr 1489 der Mathematiker Johannes Widmann ausgedacht.
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:Nimmt man von 10 Dingen zwei weg, bleiben acht übrig. Das kann man so aufschreiben: 10-2=8, gesprochen: Zehn minus Zwei ergibt Acht. Die Zahl, von der etwas abgezogen wird, heißt „Minuend“ (lateinisch „der zu verringernde“). Die Zahl, die abgezogen wird, heißt „Subtrahend“ (lateinisch „der abzuziehende“). Das Ergebnis einer Subtraktion ist die „Differenz“.
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:Ein praktisches Beispiel, bei dem man subtrahieren, also eine Subtraktion durchführen muss: Man möchte ein Brötchen kaufen. Dieses Brötchen kostet 1 Euro. Man hat 3 Euro im Portemonnaie. Man rechnet also folgendes: 3-1=2. Nachdem man das Brötchen gekauft hat, hat man noch 2 Euro übrig.
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 50%"
|-
!fuente: [http://klexikon.zum.de/wiki/Willkommen_im_Klexikon Klexikon] - [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es CC-BY-SA]
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:fuente/Quelle: [http://klexikon.zum.de/wiki/Subtraktion http://klexikon.zum.de/wiki/Subtraktion] ([http://klexikon.zum.de/wiki/Willkommen_im_Klexikon Klexikon] - die „Wikipedia für Kinder“)
:licencia: [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es CC-BY-SA] (español)
:Lizenz: [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/ CC-BY-SA] (deutsch)
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M127
[[File:Plus sign on a calculator.JPG|thumb|Das Pluszeichen auf einem Taschenrechner, unten in der Ecke]]
:'''Mathematik'''
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:'''Addition'''
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:Addition ist eine Rechenart in der Mathematik. Dabei zählt man eine Zahl zu einer anderen hinzu. Das Rechenzeichen dafür ist das Plus, das durch das Pluszeichen + aufgeschrieben wird. Dieses Zeichen hat sich im Jahr 1489 der Mathematiker Johannes Widmann ausgedacht.
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:Fügt man zu zehn Dingen zwei hinzu, hat man zwölf Dinge. Das kann man so aufschreiben: 10+2=12, gesprochen: Zehn plus Zwei ergibt Zwölf. Die Zwölf ist das Ergebnis der Addition. Man sagt dazu auch „Summe“. Die beiden Zahlen, die addiert werden, nennt man „Summanden“.
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:Angenommen, man hat zwei Äpfel und möchte drei weitere Äpfel kaufen. Wenn man sie gekauft hat, hat man insgesamt fünf Äpfel. Man rechnet also: 2+3=5.
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 50%"
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!fuente: [http://klexikon.zum.de/wiki/Willkommen_im_Klexikon Klexikon] - [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es CC-BY-SA]
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:fuente/Quelle: [http://klexikon.zum.de/wiki/Addition http://klexikon.zum.de/wiki/Addition] ([http://klexikon.zum.de/wiki/Willkommen_im_Klexikon Klexikon] - die „Wikipedia für Kinder“)
:licencia: [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es CC-BY-SA] (español)
:Lizenz: [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/ CC-BY-SA] (deutsch)
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M128
M141 ???
:'''Multiplikation''' (Teil 1)
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[[File:Three by Four.svg|Three by Four|mini|Auf dem Bild sieht man drei mal vier Kugeln, das sind insgesamt 12.]]
:Bei der Multiplikation nimmt man zwei Zahlen miteinander „mal“. Als Rechenzeichen schreibt man einen Punkt: '''·''' Weil man den aber auf dem Bildschirm oder der Tastatur nicht so gut sieht, nimmt man dort lieber ein Kreuz: '''×'''
:Multiplikation ist eine Art, Zahlen, die man immer mit sich selbst addieren würde, kürzer aufzuschreiben. Dazu ein Beispiel: man möchte <math>3+3+3+3</math> rechnen. Dies kann man vereinfacht auch als 4 × 3 schreiben (gesprochen: vier mal drei), da man vier mal die Zahl drei mit sich selbst addiert. Zahlen, die man miteinander multipliziert, werden Faktoren genannt, das Ergebnis heißt Produkt.
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 50%"
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!fuente: [http://klexikon.zum.de/wiki/Willkommen_im_Klexikon Klexikon] - [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es CC-BY-SA]
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:fuente/Quelle: [http://klexikon.zum.de/wiki/Grundrechenarten http://klexikon.zum.de/wiki/Grundrechenarten] ([http://klexikon.zum.de/wiki/Willkommen_im_Klexikon Klexikon] - die „Wikipedia für Kinder“)
:licencia: [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es CC-BY-SA] (español)
:Lizenz: [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/ CC-BY-SA] (deutsch)
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M142
M143 ???
:'''Multiplikation''' (Teil 2)
:---
:Die Multiplikation (lateinisch multiplicatio, von multiplicare ‚vervielfachen‘, auch Malnehmen genannt) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Ihre Umkehroperation ist die Division (das Teilen). Das Rechenzeichen für die Multiplikation ist das Malzeichen „·“ bzw. „ד.
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:Namensgebung der Multiplikation:
:Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren (Zusammenzählen) des gleichen Summanden:
:<math>
a \cdot b = \underbrace{b+b+\cdots+b}_{a\text{-mal}}
</math>
:''a'' und ''b'' nennt man '''Faktoren''', wobei ''a'' auch als ''Multiplikator'' und ''b'' auch als ''Multiplikand'' bezeichnet werden.
:Die Rechnung, gesprochen „a mal b“, heißt Multiplikation. Das Ergebnis Produkt.
:Merkhilfe:
:: Produkt = 1. Faktor · 2. Faktor bzw. 2. Faktor · 1. Faktor = Produkt
:: oder
:: Produkt = Multiplikand · Multiplikator bzw. Multiplikator · Multiplikand = Produkt.
:Zum Beispiel schreibt man 3 · 4 für 4 + 4 + 4, und spricht diesen Term als „drei mal vier“. Anstelle von 3 · 4 wird manchmal auch 3 × 4 oder 3 * 4 geschrieben.
:Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5''x'', ''xy''). Zur richtigen Schreibweise siehe weiter unten: ''Malzeichen''.
:---
:Rechenregeln der Multiplikation:
:{| class="wikitable"
|----
| Assoziativgesetz || <math>a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c</math>
|----
| Kommutativgesetz || <math> a \cdot b = b \cdot a</math>
|----
| Distributivgesetz || <math> a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c</math>
|}
:---
:Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass man an beliebiger Stelle beginnen kann; also auch von rechts. Aufgrund des Kommutativgesetzes ist auch die Reihenfolge irrelevant, so dass mit zwei beliebigen Faktoren (welche also nicht direkt beieinanderstehen müssen) angefangen werden kann.
M144
:'''Malzeichen'''
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:Als Malzeichen oder Produktsymbole werden verschiedene Sonderzeichen bezeichnet, die unter anderem zur Darstellung des mathematischen Operators für die Multiplikation verwendet werden. Für die Multiplikation wird normalerweise der Malpunkt · verwendet, seltener auch das Malkreuz × und speziell in Programmiersprachen als Ersatzzeichen das Sternchen *.
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:Geschichte:
:Das älteste Symbol scheint das Malkreuz (×) zu sein. Verwendet wurde es erstmals von dem englischen Mathematiker William Oughtred in seinem Werk Clavis Mathematicae, veröffentlicht 1631 in London. Wahrscheinlich benutzte Oughtred das Malkreuz schon seit 1618, falls ein anonymer Anhang zur englischen Übersetzung von John Napiers Descriptio von ihm stammt. Die Herleitung des Symbols – vom Buchstaben (X) oder auch vom Andreaskreuz – ist nicht geklärt.
:Der deutsche Wissenschaftler Gottfried Wilhelm Leibniz lehnte das Malkreuz wegen der Verwechslungsgefahr mit dem Buchstaben X ab und bevorzugte den Punkt (·). Leibniz benutzte den Multiplikationspunkt in einem Briefwechsel des Jahres 1698, hat ihn aber wahrscheinlich schon 1694 oder noch früher in seine mathematische Notation eingeführt.
:Johann Rahn führte den Stern (∗) für die Multiplikation ein. Zusammen mit dem Symbol für die Division (÷) erscheint dieser erstmals in seinem Buch Teutsche Algebra, veröffentlicht 1659.
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:In der Grundrechenart Multiplikation sind der Malpunkt · und das Malkreuz × inhaltlich gleichbedeutend, sie werden aber unterschiedlich verwendet.
:Das Malkreuz × wird eingesetzt
* wenn die Multiplikation optisch auffallend dargestellt werden muss, etwa auf einem Plakat:
*: 5 × 2 Freikarten!
* wenn die Faktoren nicht Formelzeichen oder Zahlen sind, sondern Wörter:
*: Gewerbesteuer = Steuermessbetrag × Hebesatz
* wenn nur der linke Faktor angegeben ist, also im Sinne von -mal oder -fach:
*: Vergrößerung: 6×
* in angloamerikanisch geprägten Kulturen sowie in Frankreich im Schulunterricht und Alltag.
:Der Malpunkt · wird dagegen benutzt,
* wenn Berechnungen mit Formelzeichen und Zahlen wiedergegeben werden:
*: ''a = 5 · x² + 7''
* in Deutschland im Schulunterricht.
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:Bei wissenschaftlichen Berechnungen wird der Malpunkt dann ganz weggelassen, wenn die Gestaltung es erlaubt und aus dem Kontext heraus keine Verwechslungsgefahr besteht.
: ''U = 2πr'' – ohne Leerraum<br />''U = 2 π r'' – schmales Leerzeichen<br />''U = 2 π r'' – Leerzeichen<br />Gleichheitszeichen (und entsprechende) werden durch vergrößerten Leerraum hervorgehoben
:In einigen Programmiersprachen wird das Sternchen <code>*</code> benutzt.
:---
:Abmessungen:
:Bei der Angabe von Abmessungen wie zum Beispiel Breite × Länge wird ebenfalls das Malkreuz verwendet. Beispielhafte Verwendungen sind:
* eine Fläche von 3 m × 5 m
* das Grundstück ist 30 × 40 m groß
:Die Angabe von Abmessungen stellt keine Multiplikation der jeweiligen Längen dar. Die Maßeinheit kann dabei, wie im zweiten Beispiel, auch nur einmal angegeben werden.
M145
:'''sterben'''
:ertrinken - ertränken
:erfrieren
:verdursten - verdurchstenverdursten lassen
:verhungern - verhungern lassen
:ersticken
:erdrosseln - (drosseln - Drosselklappe) - (Drossel - eine Vogelart)
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:[[File:Common Blackbird.jpg|thumb|Amsel - eine Vogelart aus der FamiliederFamilie der Drosseln (Turdidae)]]
:[[File:Song Thrush Turdus philomelos.jpg|thumb|Singdrossel]]
:Witz:
:fies
:Fiesling
M149
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