Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 002»

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Línea 819:
:Er sucht ... im Wald. (der Bär)
M78 ???
:'''Mathematik'''
:---
:'''Endliche und unendliche Mengen'''
:---
:Aus Zahlen kann man Mengen bilden:
:* M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:* M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:* M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:* M<sub>4</sub> = {9; 10}
:* M<sub>5</sub> = {0; 22; 27}
:* M<sub>6</sub> = {7; 8; 9; 10}
:Die Menge M<sub>1</sub> besteht aus drei Elementen. „4, 5, 6“ sind die Elemente der Menge M<sub>1</sub>. „4“ ist ein Elemtne der Menge M<sub>1</sub>.
:Man schreibt: „4 ∈ M<sub>1</sub>“.
:Man liest: „4 ist ein Element der Menge M<sub>1</sub>“ oder „4 ist ein Element aus M<sub>1</sub>“.
:Die Menge M<sub>1</sub> hat drei Elemente. Das sind endlich viele Elemente. Deshalb heißt die Menge M<sub>1</sub> eine „endliche Menge“.
:Auch die Menge M<sub>2</sub> ist eine endliche Menge, weil sie aus endlich vielen Elemente besteht.
:Die Mengen M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub>, M<sub>4</sub>, M<sub>5</sub> und M<sub>6</sub> sind endliche Mengen.
:Betrachte Sie die Mengen M<sub>2</sub> und M<sub>6</sub>! Sie sind gleich, weil sie aus den gleichen Elemente bestehen.
:<font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen.
:Alle Elemente der Mengen M<sub>1</sub> bis M<sub>6</sub> sind natürliche Zahlen.
:Die Menge ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... } heißt Menge der natürlichen Zahlen. Die Menge ℕ ist keine endliche, sondern eine unendliche Menge, weil sie aus unendlich vielen Elementen besteht.
:---
:Mengenschreibweise:
:Die Menge wird gewöhnlich mit einem großen Buchstaben bezeichnet, hier ein „M“. Um verschiedene Menge zu benennen können entweder unterschiedliche Großbuchstaben verwendet weden oder bei gleichen Buchstaben ein Indix (eine tiefergestellte zahl, mit der die Mengen nacheinander nummeriert werden).
:Die Elemente der Menge werden in geschweiften Klammern - {geschweifte Klammer} - geschrieben, wobei die einzelnen Elemente durch ein Komma oder Semikolon getrennt werden. Hier wurde wegen der Zahlen ein Semikolon verwendet, damit es keine Verwechslungen mit dem Dezimalkomma geben kann.
:Die Reichenfolge der Elemente innterhalb der geschweiften Klammern ist egal.
:M<sub>7</sub> = {2; 4; 6}
:M<sub>8</sub> = {4; 6; 2}
:Deshalb sind die Mengen M<sub>7</sub> und M<sub>8</sub> identisch (gleich).
 
M79
[[File:Set subsetAofB.svg|thumb|220 px|Mengendiagramm: A ist eine (echte) Teilmenge von B.]]
:'''Mathematik'''
:---
:'''Mengen und Teilmengen'''
:---
:Die Menge M<sub>1</sub> ist eine Teilmenge der Menge ℕ.
:Man schreibt: M<sub>1</sub> ⊆ ℕ
:Man liest: „M<sub>1</sub> ist Teilmenge von N“.
:Die endliceh Menge M<sub>1</sub> ist eine Teilmenge der unendlichen Menge ℕ.
 
[[File:Teilmenge M1 ist Teilmenge von M3 und M4 Teilmenge von M2.svg|thumb|300 px|Mengen M<sub>1</sub> bis M<sub>6</sub>]]
 
:Für die Mengen M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub> und M<sub>4</sub> gilt:
:M<sub>1</sub> ⊆ M<sub>3</sub> und M<sub>4</sub> ⊆ M<sub>2</sub>
:---
:* M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:* M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:* M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:* M<sub>4</sub> = {9; 10}
:* M<sub>5</sub> = {0; 22; 27}
:* M<sub>6</sub> = {7; 8; 9; 10}
 
<br style="clear:both;" />
:---
:Unter welchen Bedingungen ist eine Menge A Teilmenge der Menge B?
 
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"
|-
!Lösung M79 - <font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>:
|-
|
 
:<font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>: Eine Menge A ist eine Teilmenge der Menge B, wenn alle Elemente aus A auch Element von B sind.
 
[[File:Example of A is a proper subset of B.svg|thumb|Teilmenge]]
 
:Beispiel:
:A = {1; 9; 11}
:B = {1; 4; 8; 9; 11}
:A ⊆ B
 
|}
 
:Man kann diesen Satz auch folgendermaßen formulieren: Wenn für alle Elemente x aus A gilt, dass x Element aus B ist, so ist A eine Teilmenge von B.
:Diesen Satz kann man mit Hilfe von Symbolen schreiben:
:Für Konditionalsätze der Form: „Wenn H<sub>1</sub>, so H<sub>2</sub>“ benutzt man das Symbol „Wenn H<sub>1</sub> → H<sub>2</sub>“.
:Für den sprachlichen Ausdruck: „Für alle Elemente x aus A gilt, dass ...“
:benutzt man das Symbol „∀x ∈ A: ... “.
:---
:Der obige Satz erhält nun folgende Form: (∀x ∈ A: x ∈ B) → A ⊆ B.
 
M80
:* M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:* M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:* M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:* M<sub>4</sub> = {9; 10}
:* M<sub>5</sub> = {0; 22; 27}
:* M<sub>6</sub> = {7; 8; 9; 10}
:---
:Betrachten Sie die Mengen M<sub>3</sub> und M<sub>4</sub>! Ist M<sub>4</sub> eine Teilmenge von M<sub>3</sub>? Nein, M<sub>4</sub> ist keine Teilmenge von M<sub>3</sub>, denn nicht für alle Elemente x aus M<sub>4</sub> gilt, dass x aus M ist. Man schreibt: M<sub>4</sub> ⊈ M<sub>3</sub> und ~∀x ∈ M<sub>4</sub>: x ∈ M<sub>3</sub>.
:Zum Beispiel ist 9 ∈ M<sub>4</sub>, aber 9 ist keine Element aus M<sub>3</sub>. Man schreibt 9 ∉ M<sub>3</sub>.
 
== M81 - M90 ==
 
M81
:'''Mathematik'''
:---
:'''Unendliche Teilmengen'''
:---
:Gibt es auch unendliche Teilmengen der Menge ℕ?
:Ja, z. B. sind N<sub>g</sub> = {0; 2; 4; 6; ... ; 2n; ... } und N<sub>u</sub> = {1; 3; 5; 7; ...; 2n+1; ... } unendliche Teilmengen der menge ℕ. (Das „g“ in N<sub>g</sub> steht für „gerade Zahlen“ und das „u“ in N<sub>u</sub> für „ungerade Zahlen“.)
:Die Zahl 2n steht für alle n ∈ ℕ, die eine gerade Zahl sind. (∀n ∈ ℕ: 2n ∈ N<sub>g</sub>). Entsprechend ist 2n + 1 eine ungerade Zahl.
:Die Menge N<sub>g</sub> der geraden Zahlen und die Menge N<sub>u</sub> der ungeraden Zahlen sind unendliche Teilmengen der Menge ℕ.
:---
:Betrachten Sie die Mengen M<sub>2</sub> und M<sub>6</sub>! Ist M<sub>2</sub> eine Teilmenge der Menge M<sub>6</sub>?
:Ja, denn für alle Elemente x aus M<sub>2</sub> gilt, dass x aus M<sub>6</sub> ist.
:∀n ∈ M<sub>2</sub>: x ∈ M<sub>6</sub>; also M<sub>6</sub> ⊆ M<sub>2</sub>.
:Allgemein gilt:
:<font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>: Für jede Menge A gilt, dass A Teilmenge von A ist. ∀A: A ⊆ A
 
M82
:Betrachten Sie nun die Mengen M<sub>4</sub> und M<sub>2</sub>!
:---
:* M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:* M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:* M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:* M<sub>4</sub> = {9; 10}
:* M<sub>5</sub> = {0; 22; 27}
:* M<sub>6</sub> = {7; 8; 9; 10}
:---
:Die Menge M<sub>4</sub> heißt '''echte''' Teilmenge der Menge M<sub>2</sub>.
:Man schreibt: M<sub>4</sub> ⊂ M<sub>2</sub>.
:Man liest: „M<sub>4</sub> ist eine echte Teilmenge von M<sub>2</sub>“.
:---
:M<sub>4</sub> ⊂ M<sub>2</sub>, weil M<sub>4</sub> ⊆ M<sub>2</sub> ist und weil es das Element 7 aus M<sub>2</sub> gibt, so dass 7 ∉ M<sub>4</sub> ist.
:Allgemein gilt:
:<font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>: Wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn wenn es mindestens ein Element x aus B gibt, so dass x kein Element aus A ist, ist A eine echte Teilmenge von B.
[[File:Example of A is a proper subset of B.svg|thumb|400 px|A ist eine echte Teilmenge von B]]
[[File:Example of C is no proper subset of B.svg|thumb|400 px|C ist eine unechte Teilmenge von B]]
<br style="clear:both;" />
 
M83
:Für den sprachlichen Ausdruck: „Es gibt mindestens ein Element x aus A, so dass ... “ benutzt man das Symbol „∃x ∈: ... “.
:Außerdem benutzt man für „und“ das Symbol „∧“. Deshalb kann man kürzer schreiben:
:(A ⊆ B ∧ ∃x ∈ B: x ∉ A) → A ⊂ B
:---
:* M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:* M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:* M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:* M<sub>4</sub> = {9; 10}
:* M<sub>5</sub> = {0; 22; 27}
:* M<sub>6</sub> = {7; 8; 9; 10}
:---
:Weiter Beispiele für echte Teilmengen sind:
: M<sub>1</sub> ⊂ M<sub>3</sub> und M<sub>4</sub> ⊂ M<sub>6</sub>
 
M84