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:Eure Armut kotzt mich an. (Autoaufkleber am Porsche)
M18 ???
:'''Mathematik'''
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:'''Zahlenbereiche''' (Vorbereitungszeit: 1 Stunde - [[Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 089#a|Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 089]] - Übung Nummer '''4129b''')
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:'''Erklären Sie die Zahlenbereiche!'''
:Warum gibt es verschiedene Zahlenbereiche?
:Wurden diese Zahlenbereiche erfunden oder entdeckt? Begründen Sie ihre Meinung!
:Welche Rechenoperationen sind in welchen Zahlenbereichen möglich?
M19
:Mit dem Gehirn dnkt man. dass man denkt. Außerdem wird es für die Kopfschmerzen gepraucht. Es sitzt am Kopf direkt hinter der Nase. Wenn man niest tropft es. Das Gehirn ist ein sehr embfindliches Organ. Die meisten Leude benutzen es deshalb nur ganz selten!
M20 ???
:'''Mathematik'''
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:'''Geometrische Formen und geometrische Körper''' (Vorbereitungszeit: 1 Stunde - [[Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 089]] - Übung Nummer '''4126'''; UND: [[Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 123]] - Übungen Nummer '''5421''' und '''5422''')
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:'''Erklären Sie die verschiedenen geometrischen Figuren und Formen!'''
:Wodurch sind sie charakterisiert?
:Wie unterscheiden sie sich voneinander?
== M21 - M30 ==
M21 ???
[[File:Example of a set.svg|thumb|Eine Menge von Polygonen]]
:'''Mathematik'''
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:'''Menge'''
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:Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne Elemente zu einer Menge zusammen (in der Mathematik insbesondere Zahlen, aber auch z. B. in der Statistik die in einer Stichprobe getesteten Personen, Personen eines Jahrganges, Personen mit Bluthochdruck als vermutetem Risikofaktor für Krankheiten). Eine Menge muss kein Element enthalten (es gibt genau eine Menge ohne Elemente, die „leere Menge“). Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt.
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:In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut, von den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen (und evtl. weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus).
M22
:Mengendiagramm
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:Mengendiagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Mengenlehre. Es gibt unterschiedliche Arten von Mengendiagrammen, insbesondere Euler-Diagramme (nach Leonhard Euler) und Venn-Diagramme (nach John Venn).
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:Euler-Diagramme werden in erster Linie dazu eingesetzt, mengentheoretische Sachverhalte, zum Beispiel die Teilmengeneigenschaft, anschaulich zu machen. Folgende Veranschaulichungen sind üblich:
<gallery>
File:Venn diagram - x is in A.svg|<math>x \in A</math>; <math>x</math> ist ein Element von <math>A</math>.
File:Venn diagram - x is not in A.svg|<math>x \notin A</math>; <math>x</math> ist nicht Element von <math>A</math>.
File:Venn diagram - B is subset of A.svg|<math>B \subset A</math>; <math>B</math> ist eine Teilmenge von <math>A</math>.
</gallery>
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:Venn-Diagramme stellen alle Relationen zwischen den betrachteten Mengen dar. Daher kann man an ihnen Zusammenhänge ablesen und aus dem Vorliegen einzelner Relationen auf das Vorliegen anderer Relationen schließen:
<gallery>
File:Venn0001.svg|<math>A \cap B</math> (Schnittmenge)
File:Venn0111.svg|<math>A \cup B</math> (Vereinigungsmenge)
File:Venn0100.svg|<math>A \setminus B</math> (Differenzmenge)
File:Venn0110.svg|<math>A \triangle B </math> (Symmetrische Differenz)
File:Venn1010.svg|<math>A^{\rm C}</math> (Komplement von A)
</gallery>
M23
:Andere Schreibweisen für Mengen
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:Die '''aufzählende Schreibweise''' M = { blau, gelb, rot } kann als eine Abkürzung für die umständlichere Schreibweise M = { x | x = blau oder x = gelb oder x = rot } verstanden werden.
:Bei der '''Schreibweise mit Auslassungspunkten''' werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: M = { 3, 6, 9, 12, …, 96, 99 }. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als M = { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100 } schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt G = { 4, 6, 8, 10, … } die Menge der geraden natürlichen Zahlen, die größer sind als 2.
M24
:'''Mathematik'''
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:'''Funktion'''
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:In der Mathematik ist eine '''Funktion''' oder '''Abbildung''' eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (y-Wert) zuordnet.
:Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein.
:Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu.
:Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein.
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:Beispiele einiger Funktionsgraphen:
<gallery>
File:Injection.svg
File:Injective and non-surjective.png
File:Surjection.svg
File:Linear Function.png|Lineare Funktion
File:Polynomialdeg5.svg|Polynomfunktion 5. Grades
File:Sin.svg|Sinusfunktion
File:Normal density-3.svg|Gaußsche Glockenkurve
</gallery>
M25
:'''Mathematik'''
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:'''Punkt, Strecke, Gerade, Linie'''
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:Ein Punkt (als Raumpunkt) ist ein grundlegendes Element der Geometrie. Anschaulich stellt man sich darunter ein Objekt ohne jede Ausdehnung vor.
:Der Punkt ist ein spezieller Kreis mit einem Radius von null.
:Der Punkt ist etwas, das keine Teile hat.
:„Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.“
:Obwohl Punkte keine Ausdehnung haben, haben die aus ihnen zusammengesetzt vorgestellten Linien eine Ausdehnung.
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[[File:Two points on a line qtl2.svg|thumb|Strecke [AB] zwischen den beiden Punkten A und B]]
:Eine Strecke (auch Geradenabschnitt oder Geradenstück) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird; sie ist die kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte. Die Begrenzung einer Strecke durch diese Punkte unterscheidet sie von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Halbgeraden, die nur auf einer Seite begrenzt sind.
::abgeschlossene Strecke [AB]: beide Endpunkte sind eingeschlossen
::offene Strecke (AB): beide Endpunkte sind ausgeschlossen
::halboffene Strecke [AB) bzw. (AB]: einer der Endpunkte ist eingeschlossen, der andere ausgeschlossen
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[[File:Straight lines.svg|thumb|Darstellung von Geraden im kartesischen Koordinatensystem]]
:Eine '''gerade Linie''' oder kurz '''Gerade''' ist ein Element der Geometrie. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist gerade und wird als Strecke bezeichnet. Eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie nennt man eine Gerade.
:Eine Gerade ist eine Menge von Punkten.
M26
[[File:Screenshot Recursion via vlc.png|thumb|unendlich]]
:'''Mathematik'''
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:'''unendlich'''
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:Der Begriff '''Unendlichkeit''' bezeichnet die Negation bzw. Aufhebung von Endlichkeit, weniger präzise auch deren „Gegenteil“. Sein mathematisches Symbol ist das Unendlichzeichen (∞). Theoretisch beschreibt der Begriff „unendlich“ ein Objekt, welches kein Ende oder Schluss hat, aber einen Anfang oder Beginn haben kann, in der Geometrie würde also ein Strahl oder eine Kreisbahn als unendlich beschrieben werden.
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:Die Unendlichkeit lässt sich geistes- oder naturwissenschaftlich nur abstrakt in der Vorstellung entwickeln und wird auf Objekte und Begriffe angewendet, die keine räumlichen oder zeitlichen Grenzen haben.
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:In der Mathematik gibt es keinen definierten Begriff mit dem Namen „Unendlichkeit“, jedoch wird das Adjektiv unendlich zur näheren Charakterisierung einiger mathematischer Begriffe verwendet. In der Regel ist diese Charakterisierung komplementär zum Begriff endlich. Ein Beispiel für solch eine Begriffsbildungen ist:
::unendliche Menge als komplementärer Begriff zur endlichen Menge.
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:Unendliche Werte werden in der Mathematik durch das Unendlichzeichen ∞ dargestellt. Dieses Symbol wurde 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis als Zeichen für eine abstrakte unendliche Größe eingeführt.
M27
[[File:Kreis.svg|mini|Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)]]
:'''Mathematik'''
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:'''Pi'''
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:Die Kreiszahl π (Pi) ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises.
:Pi ist eine irrationale Zahl und kommt in zahlreichen Teilgebieten der Mathematik, auch außerhalb der Geometrie, vor.
:Die Kreiszahl Pi beginnt mit:
:π = 3,1415926...
:Die Kreiszahl und manche ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt, die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi (π) (nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes „peripheria“ („Randbereich“) bzw. perimetros („Umfang“) wurde im 18. Jahrhundert durch Leonhard Euler populär.
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:Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen p, q, also nicht als Bruch p/q dargestellt werden kann.
:Da π eine irrationale Zahl ist, ist die Darstellung stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich.
:π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …
:Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit.
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:Erste Schätzungen
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:Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näherzukommen. So ist das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises beispielsweise wichtig für die Berechnung der Länge des Beschlages eines Rades, der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers.
:Als Näherung für π benutzten die Babylonier einfach nur 3 oder auch 3,125.
:Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 ≈ 3,142857 und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber \pi beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend.
M28
:'''Mathematik'''
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:'''Primzahl'''
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:Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar ist. Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Die kleinsten Primzahlen sind:
:P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...}
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:Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.
:Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen (numerus primus) und bedeutet „die erste Zahl“.
:Die Primzahlen P haben für viele Bereiche der Mathematik eine Bedeutung.
:Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.
:Jede natürliche Zahl, die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
:Schon im antiken Griechenland interessierte man sich für die Primzahlen und entdeckte einige ihrer Eigenschaften. Obwohl Primzahlen seit damals stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind viele die Primzahlen betreffenden Fragen bis heute ungeklärt, darunter solche, die mehr als hundert Jahre alt und leicht verständlich formulierbar sind.
:Noch nicht bewiesen ist die „Goldbachsche Vermutung“, wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist.
:Auch noch nicht beweisen ist die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist).
:Über 2000 Jahre lang konnte man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen ziehen. Dies änderte sich erst mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, bei denen die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.
M29
:Eigenschafen von Primzahlen
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:Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen p ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form 2k+1 mit einer natürlichen Zahl k.
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:Größte bekannte Primzahl
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:Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus logisch geschlussfolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes.
:Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert – deshalb gab es stets eine jeweils größte bekannte Primzahl, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit ist es 2 hoch 274.207.281 − 1, eine Zahl mit 22.338.618 (dezimalen) Stellen, die am 7. Januar 2016 berechnet wurde.
:Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt Primzahllücke. Diese Differenz schwankt, und es gibt Primzahllücken beliebiger Größe.
M30
:Generierung von Primzahlen
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:Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes. Bis heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt.
:Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus zur Bestimmung einer Liste oder Tabelle aller Primzahlen kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl. Er ist nach dem griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene benannt. Allerdings hat Eratosthenes, der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte, das Verfahren nicht entdeckt, sondern nur die Bezeichnung „Sieb“ für das schon lange vor seiner Zeit bekannte Verfahren eingeführt.
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[[File:Animation Sieb des Eratosthenes.gif|thumb|445px|Sieb des Eratosthenes]]
:Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus zur Bestimmung einer Liste oder Tabelle aller Primzahlen kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl. Er ist nach dem griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene benannt. Allerdings hat Eratosthenes, der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte, das Verfahren nicht entdeckt, sondern nur die Bezeichnung „Sieb“ für das schon lange vor seiner Zeit bekannte Verfahren eingeführt.
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:Zunächst werden alle Zahlen 2, 3, 4,… bis zu einem frei wählbaren Maximalwert S aufgeschrieben. Die zunächst unmarkierten Zahlen sind potentielle Primzahlen. Die kleinste unmarkierte Zahl ist immer eine Primzahl. Nachdem eine Primzahl gefunden wurde, werden alle Vielfachen dieser Primzahl als zusammengesetzt markiert. Man bestimmt die nächstgrößere nicht markierte Zahl. Da sie kein Vielfaches von Zahlen kleiner als sie selbst ist (sonst wäre sie markiert worden), kann sie nur durch eins und sich selbst teilbar sein. Folglich muss es sich um eine Primzahl handeln. Diese wird dementsprechend als Primzahl ausgegeben. Man streicht wieder alle Vielfachen und führt das Verfahren fort, bis man am Ende der Liste angekommen ist. Im Verlauf des Verfahren werden alle Primzahlen ausgegeben.
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:Das obenstehende Bild demonstriert das Verfahren, wie die Primzahlen zwischen 2 und 120 ermittelt werden: Erst werden alle Vielfachen von 2 gestrichen, dann alle Vielfachen von 3, 5, und 7. Die Markierungen beginnen jeweils mit dem Quadrat der Primzahl: 4, 9, 25, 49. Da bereits 112 = 121 nicht mehr im Wertebereich liegt, werden ab 11 keine zusammengesetzten Zahlen mehr markiert; alle noch unmarkierten Zahlen sind prim.
== M31 - M40 ??? ==
:Ein Witwe erzählt ihrer Freundin:
:Mein Mann hat mir drei Umschläge hinterlassen.
:Im ersten Umschlag waren 1.000 EurorEuro für die Grabbepflanzung
:Im zweiten Umschlag waren 2.000 Euro für den Sarg.
:Und im dritten 10.000 Euro für einen besonders schönen Stein.
M50
:Schwarzer Rett' dich! ([https://www.youtube.com/watch?v=vZYYjGxThBs auf youtube])
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:Hessen
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