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* Unidad 1: Sistemas lineales.
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
* Unidad 2: Recta, distancias, ángulos y áreas.
* Unidad 3: Circunferencia y Parábola.
{{ecuación|<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}</math>.|1}}
* Unidad 4: Límite y continuidad de funciones.
* Unidad 5: Derivada. Crecimiento. Concavidad.
Para todo ''n'' natural, ''a'' y ''b'' reales positivos, se tiene la equivalencia:<ref name="Hasser">Haaser-La Salle-Sullivan, ''Análisis matemático 1. Curso de introducción'', Editorial Trillas ,México D. F. (1980),pg. 29 </ref>
* Unidad 6: Representación gráfica de regiones en R2.
* Unidad 7: Primitivas, Integral definida.
{{ecuación|<math>a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}</math>.|2}}
La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: <math>\sqrt{x}</math> en vez de <math>\sqrt[2]{x}</math>.La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.
Dentro de los [[números reales]] <math>\scriptstyle \R^+</math> positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número ''a'' es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice ''n'' sea impar.<ref name="Hasser" /> La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice ''n'' es par.
El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones [[logaritmo]] y [[Función exponencial|exponencial]]:
:<math>\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln {x}}{n}\right) = {e^{\frac {\ln x} n}}</math>.
Este método es empleado comúnmente en [[calculadora|calculadoras de bolsillo]] y otro tipo de hardware.<ref name="HP Museum">{{cita web |url=http://www.hpmuseum.org/cgi-sys/cgiwrap/hpmuseum/archv008.cgi?read=18183 |título=Scientific calculators, usage of exp |autor=The Museum of HP Calculators |fechaacceso= 22 de diciembre de 2013 |idioma=inglés}}</ref> El problema es que dicho cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en {{math|(0,+ ∞)}}. De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar <math>\sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x} ... </math> a los números positivos.
=Raíz Cuadrada=
==Definición==
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
Cuadrada
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.
Cuadrada
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.
Radicando = (Raíz exacta)2
raíz cuadrada exacta
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...
Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
raíz cuadrada exacta
== Algoritmo babilónico ==
[[Archivo:Sqrt babylonian algorithm.png|thumb|El algoritmo babilónico aproxima un [[rectángulo]] a [[cuadrado]].]]
El [[algoritmo]] babilónico<ref>No hay una evidencia directa de cómo los Babilónicos calculaban raíces cuadradas aunque hay conjeturas informadas. ([[Raíz cuadrada de 2#Notas]] da un resumen y referencias.)</ref> se centra en el hecho de que cada lado de un [[cuadrado]] es la raíz cuadrada del [[área]]. Fue usado durante muchos años para calcular raíces cuadradas a mano debido a su gran eficacia y rapidez. Para calcular una raíz, dibuje un [[rectángulo]] cuya [[área]] sea el [[Número real|número]] al que se le busca raíz y luego aproxime la base y la altura del rectángulo hasta formar o por lo menos aproximar un cuadrado.
El algoritmo se puede enunciar sin el uso de dibujos como sigue:
Raíz(x):
# Escoja dos números <math>b</math> y <math>h</math> tales que <math>bh=x</math>
# Si <math>h\approx b</math> vaya al paso 6, si no, vaya al paso 3
# Asigne <math>b\leftarrow\frac{h+b}{2}</math>
# Asigne <math>h\leftarrow\frac{x}{b}</math>
# Vaya al paso 2
# Escriba "<math>\sqrt x \approx b</math>"
[[Archivo:AlgoritmoRaiz.png|thumb|200px|[[Diagrama de flujo]] del algoritmo babilónico.]]
Este algoritmo aproxima la raíz cuadrada de cualquier número real tanto como se desee. Es claro que no se necesita conocer el valor de <math>h</math>, puesto que depende directamente de <math>x</math> y que el área del rectángulo siempre se aproxima a la raíz cuadrada de <math>x</math> sin importar el valor de <math>b</math> siempre y cuando <math>b>0</math>. De esta manera surge la [[función recursiva]]
:<math>f_0(x)=x\,</math>
:<math>f_n(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{f_{n-1}(x)}+f_{n-1}(x)\right)</math>
de manera tal que <math>n</math> es la <math>n</math>-ésima aproximación a <math>\sqrt x</math>. Esto implica que
:<math>f_\infty(x)=\sqrt{x}</math>
Puesto que algunas raíces son [[Número irracional|números irracionales]] es necesario definir qué tanto es "aproximadamente". Afortunadamente nadie es capaz de escribir un número con una infinita cantidad de dígitos, por lo que el umbral de aproximación se limita a la cantidad de dígitos que se es capaz de escribir. Entonces podemos definir que el algoritmo termine en el momento que la última aproximación es la misma que la anterior (es decir, ya no se puede aproximar más).
=== Descripción formal ===
De manera formal, se expresa el algoritmo babilónico usando [[pseudocódigo]] de la siguiente manera:
:{| width=61.8% border = 1
|
'''función''' <math>\mathrm{raiz}(x)\,</math>
:<math>r\leftarrow x</math>
:<math>t\leftarrow 0</math>
:'''mientras <math>t\neq r</math>'''
::<math>t\leftarrow r</math>
::<math>r\leftarrow \frac 1 2\left(\frac x r + r\right)</math>
:'''devolver''' <math>r\,</math>
|}
donde <math>x\leftarrow y</math> significa "sustituya el valor de <math>x</math> por del de <math>y</math>", y '''devolver''' expresa el resultado del algoritmo y su terminación.
8Prueba de la raíz cuadrada.
Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:
Radicando= (Raíz entera)2 + Resto
89 225= 2982 + 421
== Método de resolución ==
[[Archivo:Partes de la Raiz Cuadrada.PNG|thumb|240px|Partes de la raíz cuadrada.]]
En la imagen podemos ver cinco partes esenciales de la raíz cuadrada en el método de resolución:
* 1- Radical, no es más que el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
* 2- Radicando, es el número al que se le obtendrá la raíz cuadrada.
* 3- Renglón de la raíz cuadrada, ahí se distinguirá el resultado.
* 4- Renglones auxiliares, nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.
* 5- Residuo, es el resto que queda luego de resolver la raíz cuadrada.
Los pasos a seguir son estos:
[[Archivo:Raiz paso 1.PNG|thumb|150px|Paso 1.]]
* <u>Paso 1:</u> Se separa el número del radicado (en el ejemplo, 5836.3690) en grupos de dos cifras. La separación se hace desde el signo de decimal (si lo hubiera) hacia la derecha y hacia la izquierda. Si del lado de los decimales (a la derecha del punto, es decir 369) no hay un número par de cifras, es evidente que quedaría una suelta: en ese caso, se le añadiría un cero. Si del lado de los enteros (a la izquierda del punto, es decir, 5836) quedara un número suelto, se quedaría así. En la imagen de la derecha podemos ver el número 5836.369 dividido en grupos de dos cifras; después del número 9 se ha agregado un cero (en azul) pues en el lado decimal no puede haber un grupo de una cifra (en el ejemplo, esta separación quedaría así: '''58/36.36/90''')
[[Archivo:Raiz paso 2.PNG|thumb|150px|Paso 2.]]
* <u>Paso 2:</u> Se busca un número que multiplicando por sí mismo (es decir, elevado al cuadrado) dé como resultado el número que coincida o que más se aproxime por debajo al primer grupo de números de la izquierda (en el ejemplo, 58). El resultado no puede ser mayor que 58. Una vez encontrado el número se agrega a la parte de la raíz. En este caso el número sería el 7, porque 7 x 7 es 49. Otra posibilidad sería 6 x 6, pero daría 36 (lo que quedaría más alejado de 58) y 8 x 8, pero daría 64 (lo que excedería a 58).
[[Archivo:Raiz paso 3.PNG|thumb|150px|Paso 3.]]
* <u>Paso 3:</u> El número obtenido (7) es el primer resultado de la raíz cuadrada. En el paso anterior lo escribíamos en el cajetín de la derecha. Ahora lo multiplicamos por sí mismo. El resultado (49) se escribe debajo del primer grupo de cifras de la izquierda (58), y se procede a restarlo. El resultado de la resta (58-49) es 9. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de dos cifras (36), con lo que la siguiente cifra de la raíz es ahora la unión del resultado de la resta anterior con las nuevas cifras bajadas (es decir, 936).Para continuar la extracción de la raíz cuadrada multiplicamos por 2 el primer resultado (7) y lo escribimos justo debajo de éste, en el siguiente renglón auxiliar (en la imagen, el 14 está escrito justo debajo del 7, ya que 7 x 2 es 14).
[[Archivo:Raiz paso 4.PNG|thumb|150px|Paso 4.]]
* <u>Paso 4:</u> En este paso hay que encontrar un número ''n'' que, añadido a 14, y multiplicado por ese mismo ''n'', de como resultado un número igual o inferior a 936. Es decir, podría ser 14'''1''' x '''1''', 14'''2''' x '''2''', 14'''3''' x '''3'''... y así hasta 14'''9''' x '''9'''. Muchas veces se utiliza el procedimiento de tanteo para hallar ese número, si bien se puede emplear el método de dividir las primeras dos cifras del residuo (93) entre el número del renglón auxiliar (14). La primera cifra del resultado que no sea cero, aunque sea un decimal, es, generalmente, la que buscamos. El resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón auxiliar. En este caso 93 dividido entre 14 es 6. De manera que la operación buscada es 14'''6''' x '''6''' = 876 (operación que añadimos en el renglón auxiliar). El siguiente resultado de la raíz cuadrada es 6. También procedemos a anotarlo en el radicando.
[[Archivo:Raiz paso 5.PNG|thumb|150px|Paso 5.]]
* <u>Paso 5:</u> El procedimiento es el mismo que anteriormente. El resultado de la operación anterior (876) se coloca debajo del número procedente de la resta anterior (936) y se restan. Al resultado de la resta (60) se le añade el siguiente grupo de cifras del radical (en este caso, 36). Si el siguiente grupo está después del punto decimal se agrega un punto decimal al número de la raíz. El nuevo número obtenido es 6036.
[[Archivo:Raiz paso 6.PNG|thumb|150px|Paso 6.]]
* <u>Paso 6:</u> Se retoma el procedimiento del paso 3. La cifra de la raíz (76) se multiplica por dos (resultando 152). Buscamos un número que añadido a 152 y multiplicado por ese mismo número nos dé una cantidad aproximada a 6036. Sería, por tanto, 152'''1''' x '''1''', 152'''2''' x '''2''', 152'''3''' x '''3''', etc. Se puede hacer por tanteo, o por el procedimiento de dividir en este caso, las '''tres''' primeras cifras de la raíz por las '''tres''' primeras cifras de la línea auxiliar (nótese que antes eran las dos primeras cifras), es decir, 603/152 (el número buscado es 3, ya que el resultado es 3.9 y se ha dicho que la cifra que se debe tomar es la primera). La operación a realizar es, por tanto, 152'''3''' x '''3'''. El resultado (4569) se coloca bajo el último resto y se procede a hallar la diferencia, que es 1467. Una vez realizada la resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso. Obsérvese que el número a dividir entre renglón auxiliar y residuo va aumentado.
[[Archivo:Raiz paso 7.PNG|thumb|150px|Paso 7.]]
* <u>Paso 7:</u> Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos (ignorando el punto de los decimales)(763 x 2 = 1526). El resultado de la multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelven a dividir los primeros cuatro números del residuo (1467) entre el resultado de la multiplicación (1526),(nótese que son las primeras '''cuatro''' cifras, cuando antes eran las '''tres''' primeras), lo que nos da un resultado de 0.9 (como decíamos antes, se toma el primer número que no sea cero aunque sea decimal, por lo tanto, la cifra buscada es 9). El nueve se agrega en el renglón de la raíz y el tercer renglón auxiliar, y se multiplica 9 por 15269, lo que da un resultado de 137421, esta cifra se le resta a 146790 y nos da un resultado de 9369.
La raíz cuadrada de 5836.369 es 76.39, con un residuo de 0.9369. Recordemos que el cero es sólo un auxiliar. Es también que la operación anterior utilizada como ejemplo no está completa. Si la continuáramos daría como resultado 76.396132101 (con nueve decimales).
Los pasos se pueden resumir en ciclos de cuatro después de separar en grupos de dos cifras y teniendo en cuenta cuando se coloca el punto decimal en la raíz:
* <u>1)</u> Hallar una nueva raíz.
* <u>2)</u> Realizar la resta correspondiente.
* <u>3)</u> Bajar un nuevo par del radicando.
* <u>4)</u> Multiplicar raíz actual por dos.
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