Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 091c»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
Línea 1:
:[[Curso de alemán nivel medio con audio|índice]]
:[[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 090c|Lección 090c]] ← Lección 091c → [[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 092c|Lección 092c]]
:Mathematik von A bis Z (Teil 28)
Línea 11:
:'''Binomischer Lehrsatz'''
:---
:Zuerst eine Begriffsfeststellung. Man nennt eine Zahl der Form <math> (x+a) </math> oder <math> (x+b) </math> eine „binomische Zahl“ oder, wenn mit dieser Zahl multipliziert wird, einen „binomischen Faktor“. Dabei ist das ''x'' hier nicht als Unbekannte aufgefaßt, sondern wird bloß aus gleichsam optischen Unterscheidungsgründen
::(<small>Der tiefere Sinn der Verwendung des ''x'' liegt darin, daß der „binomische“ Lehrsatz vorwiegend zur Entwicklung von Funktionen benützt wird, in denen die Veränderliche ''x'' in einem Binom auftritt. </small>)
:„Binom“ (auf: deutsch: „Zweigliederausdruck“) heißt jede additive oder subtraktive Verbindung zweier Zahlen, die irgendwie als neue Einheit aufgefaßt wird.
Línea 65:
:<math> \textstyle C_3 = \binom{n}{3} a^3 </math>. Jetzt ist das Bildungsgesetz schon klar. Und damit ist die Lösung des Problems geglückt. Es ist also:
:<math> \textstyle (x+a)^n = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1} ax^{n-1} +</math><math> \textstyle\binom{n}{2} a^2x^{n-2} +</math><math> \dots +</math><math> \textstyle \binom{n}{n-1} a^{n-1}x +</math><math> \textstyle \binom{n}{n} a^n </math>.
:Bevor wir einen konkreten Fall berechnen, wollen wir noch die als „Pascalsches Dreieck“ oder „Dreieck der
??
Línea 74:
:Ohne den etwas umständlichen Beweis für ihre Richtigkeit zu führen, machen wir darauf aufmerksam, daß jede Zahl im Inneren der Hilfstafel gleich ist der Summe der beiden rechts und links über ihr stehenden Zahlen. Dadurch sind wir in den Stand gesetzt, Schritt für Schritt, rein mechanisch, dieses „Dreieck“ ins Unendliche zu erweitern. Es sei noch erwähnt, daß Blaise Pascal dieses Dreieck als „triangulus mathematicus“ (mathematisches Dreieck) selbständig entdeckte, daß die Binomialkoeffizienten aber schon vor Pascal von Michael Stifel (1544) erwähnt wurden und den chinesischen Mathematikern sogar schon um 1300 n. Chr. Geb. bekannt waren.
:Man wird mit Recht fragen, wie dieses Dreieck zu benützen sei. Nun, sehr einfach. Die römischen Ziffern links am Rande bedeuten die ganzzahlige positive Potenz, zu der das Binom erhoben werden soll. Dann entsprechen die der betreffenden Zeile angehörigen Zahlen den von uns früher mit <math> C_0 </math>, <math> C_1 </math>, <math> C_2 </math> ... <math> C_{n-1} </math>, <math> C_n </math> bezeichneten Koeffizienten. Sie müssen also auch den kombinatorisch geschriebenen Binomialkoeffizienten gleich sein. Wählen wir etwa als Beispiel den Fall <math> (x+a)^7 </math> und entwickeln wir die Potenz nach dem binomischen Lehrsatz in eine Potenzreihe, fallend nach x:
:<math> \textstyle (x+a)^7 = x^7 + \binom{7}{1} x^6a +</math><math> \textstyle \binom{7}{2} x^5a^2 +</math><math> \textstyle \binom{7}{3} x^4a^3 +</math><math> \textstyle \binom{7}{4} x^3a^4 +</math><math> \textstyle \binom{7}{5} x^2a^5 +</math><math> \textstyle \binom{7}{6} xa^6 +</math><math> \textstyle a^7 </math>.
Línea 96:
:<math> = \textstyle \binom{9}{0} \cdot 1^9 x^0 + \binom{9}{1} \cdot 1^8 x^1 + \binom{9}{2} \cdot 1^7 x^2 + </math><math> \textstyle \binom{9}{3} \cdot 1^6 x^3 + </math><math> \textstyle \binom{9}{4} \cdot 1^5 x^4 + </math><math> \textstyle \binom{9}{5} \cdot 1^4 x^5 + </math><math> \textstyle \binom{9}{6} \cdot 1^3 x^6 + </math><math> \textstyle \binom{9}{7} \cdot 1^2 x^7 + </math><math> \textstyle \binom{9}{8} \cdot 1^1 x^8 + </math><math> \textstyle \binom{9}{9} \cdot 1^0 x^9 </math>
:<math> = 1 + 9x + 36x^2 + 84x^3 +</math><math> 126x^4 +</math><math> 126x^5 +</math><math> 84x^6 +</math><math> 36x^7 +</math><math> 9x^8 +</math><math> x^9 </math>
:Zum Abschluß wollen wir noch beifügen, daß das Binom selbstverständlich auch <math> (x-a)^n </math> oder <math> (-x-a)^n </math> lauten könnte. Nach dem Gesetz der Verknüpfung von
:Weiters wollen wir versuchen, den binomischen Lehrsatz als Summenformel anzuschreiben:
:<math> (x+a)^n = \sum_{\nu=0}^n \binom{n}{\nu} x^{n-\nu} \cdot a^{\nu} </math>
:<math> = \binom{n}{0} x^na^0 + \binom{n}{1} x^{n-1}a^1 + \cdots +
\binom{n}{n} x^0a^n </math>.
:Da nun aber in der Mathematik durchaus nicht stets nach ganzzahligen positiven Potenzen von Zweigliederausdrücken (Binomen) gefragt wird, müssen wir noch kurz den Fall erörtern, daß uns gebrochene oder negative
:<math> \textstyle (1+x)^n = 1 + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 +</math><math> \textstyle \binom{n}{3}x^3 +</math><math> \dots +</math><math> \textstyle \binom{n}{r}x^r </math>
:hat. Dabei bedeutet das ''r'' eine noch endliche Zahl, die aber größer sein darf als ''n''.
Línea 117:
:[[Curso de alemán nivel medio con audio|índice]]
:[[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 090c|Lección 090c]] ← Lección 091c → [[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 092c|Lección 092c]]
| |||