Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 094c»

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:Mathematik von A bis Z (Teil 31)
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:'''Technik der Differentialrechnung'''
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:Da wir die Grundlagen unserer Kunst so gewissenhaft beleuchteten, ist es jetzt unser Recht, den Algorithmus der höheren Mathematik rein formal abzuleiten. Und wir stellen für die Differentialrechnung die sogenannte LeibnizschcLeibnizsche Gleichung als Fundamentalsatz an die Spitze. Diese lautet:
:Der Differentialquotient <math> \textstyle = \frac{dy}{dx} = y' = f'(x) = \frac{ f(x+dx) -f(x)} {dx} </math>.
:Im Wesen bringt uns diese Gleichung nichts anderes als eine andere Schreibweise für etwas, was wir schon rechnerisch erforschten. Wir bildeten ja seinerzeit den Differentialquotienten in der Art, daß wir von der, durch den Zuwachs <math> dx </math> entstandenen neuen Funktion <math> (y+dy) = f(x+dx) </math> die ursprüngliche Funktion <math> y=f(x) </math> abzogen. Also
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:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} = \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} </math>
:Nun darf <math> \textstyle \frac{dy}{dx} </math> bekanntlich auch <math> f'(x) </math> oder <math> y' </math> geschrieben werden. Folglich besteht unsere erste Gleichung zu Recht.
:Nun müssen wir aufrichtig sein und sagen, daß die „Leibniz-Gleichung“ erst eine Art von Schale ist, aus der wir für jeden Einzelfall den Kern lierausklaubenherausklauben müssen. Und das ist nicht immer so leicht. Wenn man aber systematisch verfährt, kann man gleichsam Grundrechenregeln für die Differenzierung ableiten, die auch jede komplizierte Differentialrechnung der Behandlung zugänglich machen, als ob es sich etwa um eine Multiplikation oder Division handelte. Zuerst werden wir, da ja in den Funktionen stets Potenzen von ''x'' vorkommen, ein allgemeines Gesetz für die Differenzierung einer Potenz zu gewinnen trachten. Beginnen wir mit dem einfachsten Fall der ersten Potenz. Etwa:
:<math> y= x+6 </math>.
:Dann ist <math> y + dy=(x+dx)+6 </math> und der Differentialquotient nach der Leibniz-Formel
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:oder der für <math> y=x^{-3} </math> die Form
:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = - \frac{3}{x^4} </math> hat.
:Daß hier, beim negativen Potenzanzeiger, sich die Potenz erhöht statt erniedrigt, ist nur eine scheinbare Ausnahme. Denn ein negativer Potenzanzeiger bedeutet einen Bruch und ein Bruch wird kleiner, wenn die Potenz steigt. Aus diesem „Verkleinern“ der vorgelegten Funktion durch Differentiation sowie aus dem Umstand, daß die Differentiation einen Quotienten als Grundlage nimmt, könnte man schließen, daß sie zu den lytischen, lösenden Operationen gehört. Das Integral dagegen ist eine Art von Summe und erhöht, wie wir sehen werden, den Exponenten der Funktion und damit den Funktionswert. Daher gehörte die Integralrechnung zu den aufbauenden, thctischcnthetischcn Rechnungsarten. Wir wollen sie auch so behandeln. Ein Hauptgegengrund gegen solche Einreihung ist allerdings der Umstand, daß der Differentialquotient wie die Summe und das Produkt stets leicht und eindeutig zu bilden ist, während die Auswertung des Integrals strukturell mit Division und Wurzelziehen dadurch Verwandtschaft zeigt, daß sie eine gewisse Unsicherheit, Mehrdeutigkeit und die Notwendigkeit des Probierens mit sich führt.
:Der aufmerksame Leser dürfte bemerkt haben, daß bei unseren bisherigen Differentialrechnungen die willkürliche Veränderliche ''x'' stets ohne Koeffizienten auftrat. Bei der zwangsläufigen Veränderlichen ''y'' ist das so gut wie selbstverständlich. Denn wir differentiieren erst, wenn wir die Funktion auf die explizite (ausgewickelte) Form <math> y=f(x) </math> gebracht haben. Gar nicht selbstverständlich ist diese KoeffizientcnlosigkeitKoeffizientenlosigkeit bei den x-Potenzen. Im Gegenteil: Die x-Potenzen treten sogar in der Regel mit Koeffizienten auf. Da nun weiters die Koeffizienten nichts anderes sind als multiplikative Konstanten, muß sofort nachgeprüft werden, ob multiplikative konstante Größen ebenso verschwinden wie additive und subtraktive. Wir versuchen also die Funktion
:<math> y=3x^2 +19 </math>
:zu differentiieren. Nach der Leibniz-Formel ist
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:und nach Weglassung aller Kleinheiten höherer Ordnung bzw. Addition und Subtraktion:
:<math> \textstyle = \frac{4 \cdot 3x^2 \; dx - 7 \cdot 2x \;dx + 9dx}{dx} </math><math>= 12x^2 - 14x + 9</math>.
:Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir gliedweise differentiiert hätten. Denn der Differentialquotient von <math> 4x^3 </math> ist <math> 4 \cdot 3x^2 = 12x^2 </math>, der von <math> -7x^2 </math> ist gleich <math> -7 \cdot 2x = -14x </math> und der von <math> 9x </math> ist <math> 9 \cdot 1 \cdot x^0 = 9 </math>. Die Konstante (-26) fällt natürlich weg. Also wissen wir jetzt, daß der Differentialquotient einer Summe gleich ist der Summe der Differentialquotienten der einzelnen Summanden1)Summanden.
::(<small>„Summe“ ist hier stets als „arithmetische Summe“ aufgefaßt, schließt also die Subtraktion in sich, die man als Addition von Gliedern mit negativen Koeffizienten auffassen kann.</small>)
:Zur Warnung sei nachdrücklichst angemerkt, daß man bei Differentiation eines Produktes oder eines Quotienten, etwa <math> y = (x^2+3x+1)(5x-16)</math> oder <math> \textstyle \frac{2x^2-7}{3x+9} </math> durchaus nicht analog verfahren darf. In diesen Fällen gelten eigene Formeln, die jedoch über unseren Rahmen hinausgehen. Wir dürfen aber, wo es möglich ist, stets versuchen, vor der Differentiierung auszumultiplizieren oder auszudividieren, da wir dadurch eine unseren Kenntnissen zugängliche ganze Funktion erhalten können.
:Nun, da wir eigentlich rechnerisch alles erledigt haben, was wir von der Differentialrechnung wissen müssen, ist es Zeit, die geometrische Deutung des Differentialquotienten zu geben, aus der ein großes Anwendungsgebiet unseres Algorithmus, nämlich die Bestimmung der Maxima und Minima, der HöchstundHöchst- und Mindestwerte, oder, wie man auch sagt, der Extremwerte sich ergibt. Wir wissen, daß der Differentialquotient nichts anderes ist als das Verhältnis des infinitesimalen (besser: des beliebig kleinen) Ordinatenzuwachses zum beliebig kleinen Abszissenzuwachs. Anders ausgedrückt: Wie verhält sich der Ordinatenzuwachs zum Abszissenzuwachs, wenn irgendein ''x'' um einen beliebig kleinen Betrag wächst? (s. Fig. 55)
:Da das bekanntlich nichts anderes ist als ein Stück der Tangente, so kann ich dieses Stück verlängern, bis es die x-Achse schneidet.
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