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Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 096c»

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:Mathematik von A bis Z (Teil 33)
Línea 23:
:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} =</math><math> \textstyle f'(x) =</math><math> \textstyle y' =</math><math> \textstyle 2 \cdot 3x^2 - 7 \cdot 2x + 1 \cdot x^0 =</math><math> \textstyle 6x^2 - 14x + 1 </math>.
 
:Schon hier bemerken wir eine fatale Vieldeutigkeit der Integration. Kein Mensch in aller Welt wird nämlich bei einer abfälligen BückverwandlungBüchverwandlung des DiffcrcntialquotientenDifferentialquotienten in die Stammfunktion (und das ist ja die Integration) imstande sein, anzugeben, wie groß die Konstante war. Man weiß nicht einmal, ob es eine Konstante gegeben hat. Vielleicht waren es sogar mehrere Konstanten oder ein Produkt oder ein Quotient von Konstanten, die beim Differentiieren auf Nimmerwiedersehen verschwunden sind. Wenn man also die Funktion unter dem Integral wirklich als den Differentialquotienten einer uns noch unbekannten Stammfunktion betrachtet, dann kann man logischer Weise nicht von einer Stammfunktion sprechen. Jedem Differentialquotienten entsprechen unendlich viele Stammfunktionen, aus denen er entstanden sein kann. Und diese Stammfunktionen unterscheiden sich eben durch eine additive oder subtraktive Konstante ''C''. Streng richtig muß ich also schreiben:
:<math> \textstyle F(x)=y= \int f'(x) \pm C </math> oder <math> \textstyle \int f'(x) + C </math>, wenn ich es freistelle, dem ''C'' auch negative Werte zu erteilen. In dieser Form wird das allgemeine oder unbestimmte Integral auch stets geschrieben und wenn es nicht so geschrieben wird, ist eben die ganz willkürliche additive Konstante ''C'' hinzuzudenken. Wieso diese Konstante beim bestimmten Integral, das wir ja zur wirklichen Ausrechnung benützen, unschädlich wird, und was diese Konstante physisch und geometrisch bedeutet, werden wir später zeigen. Vorläufig lassen wir uns durch diese Konstante nicht stören.
 
Línea 31:
:x-Potenzen der Stammfunktion: <math> 2x^3 - 7x^2 + x </math>
:x-Potenzen unter dem Integral: <math> 6x^2 - 14x + 1 </math>.
:Zuerst merken wir, daß wir, wie beim DiffercntiierenDifferentiieren, auch „gliedweise“ integrieren können, soweit es sich um additiv oder subtraktiv verbundene x-Potenzen handelt. Wir stellen das gleich als Regel fest und schreiben
:<math> \textstyle \int (6x^2 - 14x + 1)dx =</math><math> \textstyle \int 6x^2dx - \int 14xdx + \int 1 dx</math>.
 
Línea 44:
:<math> \textstyle \int (6x^2 - 14x + 1)dx = 6 \int x^2dx - 14\int xdx + 1 \int dx</math>.
 
:Nun wollen wir aber wieder zur Frage zurückkehren, wie aus der bezüglichen x-Potenz unter dem Integral die entsprechende x-Potenz der Stammfunktion entsteht. Wie also mache ich aus <math> 6x^2 </math> wieder <math> 2x^3 </math>, aus <math> 14x </math> wieder <math> 7x^2 </math> und aus 1 das ''x''. Das erste, was mir auffällt, ist, daß das Integrieren die Potenz des ''x'' um 1 erhöht, was sehr selbstverständlich ist, wenn man bedenkt, daß die x-Potenz durch das Differentiieren um 1 erniedrigt wurde. Also algemeinallgemein <math> \textstyle \int x^m dx = </math> Irgendetwas, irgendein Koeffizient mal <math> x^{m+1} </math>. Wie groß ist nun dieser Koeffizient?
:Aus <math> 2x^3 </math> wurde <math> 6x^2 </math>. Aus <math> 6x^2 </math> soll wieder <math> 2x^3 </math> werden. Da wir den Vorgang beim ''x'' schon kennen, fragen wir nur noch, wie man aus 6 wieder 2 macht. Nun, sehr einfach. Nämlich im Wege einer Division durch 3. Ich habe aber die Stammfunktion nicht vor mir. Sondern nur den Differentialquotienten. Da ich weiter vermute, daß auch die Änderung des Koeffizienten mit der Potenz des x zusammenhängt, da ja auch beim Differentiieren der Koeffizient (sofern er nicht schon vorhanden war) durch die Potenz des ''x'' entstand (oder zum Teil entstand), muß ich versuchen, wie ich aus der Potenz des ''x'' unter dem Integral den Koeffizienten gewinne. Also aus <math> 6x^2 </math> soll <math> 2x^3 </math> werden. Da ich den Potenzanzeiger 2 oben allgemein m nannte, muß ich die 6 durch <math> (m+1) </math>, also 3 dividieren, um den Koeffizienten 2 des <math> 2x^2 </math> zu erhalten. Wir behaupten somit zusammenfassend, daß <math> \textstyle \int x^m</math> gleich sei <math> \textstyle \frac{1}{m+1} x{m+1}</math>. Machen wir gleich die Probe für unsere anderen Potenzen. Welchen Wert hat <math> \textstyle \int 14x dx </math>?
:Hier ist <math> m=1 </math>. Also ist der Wert <math> \textstyle \frac{14}{1+1} x^{1+1} = \frac{14}{2} x^2 = 7x^2 </math>, also genau das, was wir erwarteten. Wenn wir uns schließlich für <math> \textstyle \int 1 dx </math> interessieren, dann erhalten wir, da
Línea 50:
:wohl
:<math> \textstyle \frac{1}{0+1}x^{0+1} = \frac{1}{1}x^1 = x </math>
:was offensichtlich stimmt. Wir sind also förmlich im Fluge in den Besitz des Algorithmus der gefürchteten Integralrechnung gelangt. Und wir haben damit das Versprechen eingelöst, daß uns der IntcgralbefchlIntcgralbefehl durchaus nicht schwerer zu befolgen erscheint, als irgendein anderer mathematischer Befehl. Dies gilt allerdings nur für ganze rationale algebraische Funktionen. Wir verhehlen darum auch nicht, daß die Integralrechnung verwickcltcrer Funktionen kein Handwerk mehr ist, sondern eine Kunst. Daß etwa
:<math> \int\limits_{0}^x \sqrt { 1 + \frac{x^2}{k^2} } \; dx</math>
:gleich ist
Línea 66:
<br style="clear:both;" />
 
:Wir kombinieren unsere Künste und stellen vorweg durch eine MaximumaufgabcMaximumaufgabe fest, wie groß die höchste Ordinate dieses Kurvenstückes ist. Also für den Bereich <math> x=0 </math> bis <math> x=l </math> ergibt die Funktion <math> y=x-x^2 </math> den Differentialquotienten <math> \textstyle y'=f'(x)= \frac{dy}{dx} = l-2x </math>. Nullsetzung des Differentialquotienten liefert: <math> 1-2x=0 </math>. Auflösung dieser Gleichung: <math> </math>2x=l oder <math> \textstyle x = \frac{1}{2} </math>. Dieses ''x'' liegt sichtlich im geforderten Bereich, da es genau in der Mitte zwischen 0 und 1 anzutreffen ist. Nun kehre ich zur Funktion der Kurve zurück und setze für <math> \textstyle x = \frac{1}{2} </math> ein.
:Folglich ist
:<math> \textstyle y = x-x^2 = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} </math>
Línea 85:
:<math> \textstyle \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} </math>
 
:Unsere erste Quadratur ist gelungen. Die krummlinig begrenzte schrafficrLeschraffierte Fläche hat den Flächeninhalt <math> \textstyle \frac{1}{6} </math> in der Einheit, die wir für das ''x'' auf der Abszisse wählten und die auch Einheit der Ordinate ist. Also, wie man sagt, <math> \textstyle \frac{1}{6} </math> Quadrateinheiten.
::(<small>Wäre die Ordinale und die Abszisse nicht im gleichen Maßstab dargestellt, dann bedeutete das Integral die Anzahl der „Einheits-Rechlecke“Rechtecke“, deren Seiten jeweils die Einheiten der Abszisse und der Ordinate sind. Unsere „Quadrateinheit“ ist somit ein Sonderfall einer allgemeineren Möglichkeit. Doch beschränken wir uns in diesem Buch auf „Quadrat-Einheiten“.</small>)
 
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