Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 098c»

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:Mathematik von A bis Z (Teil 35)
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:Nun wollen wir noch die Aufgabe des großen Archimedes, die Quadratur der „gemeinen Parabel“, die er als:
:Parabelsegment = Einbeschriebenes Dreieck × <math> \textstyle (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots ) </math>, darstellt, was weiter:
:EinbeschriebcnesEinbeschriebenes Dreieck × <math> \textstyle \frac{4}{3} </math> liefert, durch die Integralrechnung nachprüfen. Gewöhnlich wird in der Schule als Formel der Parabel <math> y^2=2px </math> gelernt. Nun ist dies durchaus nicht die einfachste Form einer ParabclgleichungParabelgleichung, sondern eine sogenannte inverse Funktion. Setzen wir, was wir jederzeit dürfen, den Parabel-Parameter ''p'' gleich <math> \textstyle \frac{1}{2} </math>, dann wird aus <math> y^2=2px </math> die Gleichung <math> y^2=x </math> oder <math> y = \sqrt{x} </math>. Nach den Regeln der Funktionenlehre und der analytischen Geometrie bedeutet die Vertauschung von ''x'' und ''y'' in ihren Rollen als abhängige und unabhängige (zwangsläufige und willkürliche) Veränderliche nichts als die Drehung der Kurve im Koordinatensystem um 90 Grade. Die Parabel <math> y^2 = x </math> liegt gleichsam horizontal, die Parabel <math> x^2=y </math> (oder <math> y=x^2 </math>) vertikal im Koordinatensystem.
 
[[File:Mathematik von A bis Z Fig 67.svg|thumb|400 px|Fig. 67-1]]
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:Die eine Kurve im Verhältnis zur anderen heißt „inverse (umgekehrte) Kurve“, die Funktionen zueinander heißen „inverse Funktionen“. Dies aber nur nebenbei zur Beruhigung allfälliger Skrupel, wenn wir im folgenden die Funktion <math> y=x^2 </math> gleichsam als Funktion der Urparabel in Anspruch nehmen.
:Im archimedischen Sinne beschrieben wir in ein ParabclsegmentParabelsegment ''S'', das eigentlich ein Halbsegment ist, ein Dreieck ein:
 
[[File:Mathematik von A bis Z Fig 68.svg|thumb|400 px|Fig. 68]]
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:<math> \textstyle ay - \frac{a^3}{3} = a \cdot a^2 - \frac{a^3}{3} =</math><math> \textstyle a^3 - \frac{a^3}{3} =</math><math> \textstyle \frac{3a^2 - a^3}{3} =</math><math> \textstyle \frac{2}{3}a^3</math>.
:Nun hat aber Archimedes seine Quadratur nicht in Einheiten von ''a'', sondern in einbeschriebenen Dreiecken angegeben. Wir müssen also noch ermitteln, wie groß das einbeschriebene Dreieck <math> OPP_1 </math> ist. Es ist ein rechtwinkliger Triangel mit den Katheten ''y'' und <math> x=a </math>. Seine Fläche ist demnach <math> \textstyle \frac{y \cdot a}{2} </math> oder, da <math> y=x^2=a^2 </math>, so hat es die Fläche <math> \textstyle \frac{a^2 \cdot a}{2} = \frac{a^3}{2} </math>.
:Nun multipliziert Archimedes dieses Dreieck mit der fallenden geometrischen Progression <math> \textstyle (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots )</math>,deren unendliche Summe nach einer schon erwähnten Formel <math> \textstyle s_{\infty} = \frac{1}{1-q} </math> (wobei ''q'' in unserem Falle <math> \textstyle \frac{1}{4} </math> beträgt), <math> \textstyle \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} </math> ergeben muß. Nun haben wir alles beisammen, was wir brauchen. Nach Archimedes ist die Fläche des Parabelhalbsegmentes gleich dem Dreieck <math> \textstyle \frac{a^2}{2} </math> mal der Reihensumme <math> \textstyle \frac{4}{3} </math> also <math> \textstyle \frac{a^2}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2a^2}{3} </math>, was genau den Wert ergibt, den wir durch Integration fanden. Und wir wollen uns an dieser Stelle in tiefer Verehrung vor dem erleuchteten Geist Griechenlands im allgemeinen und eines Eudoxus und ArchimcdesArchimedes, den ersten Bahnbrechern der Integralrechnung, im besonderen verneigen.
 
:Selbstverständlich ist es auch möglich, mittels der Integralrechnung das Halbsegment der „liegenden“ Parabel (<math> y^2 = x </math> oder <math> y = \sqrt{x} </math>) direkt zu quadrieren. Wir können an diesem Beispiele sehen, daß unser Algorithmus der Integralrechnung auch auf gebrochene Potenzen sicher und leicht anzuwenden ist. Würden wir also, um Verwechslungen mit der Schreibweise der eben berechneten Quadratur zu vermeiden, den „Bereich“ von <math> x=0 </math> bis <math> x=b </math> wählen, dann hätten wir das bestimmte Integral
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:Schon die Lage auf dem Kegel muß jedem, der ein geometrisches Gefühl hat, zeigen, daß die Hyperbel stets breiter und breiter wird (ebenso die Parabel), während Kreis und Ellipse „geschlossene krumme Linien“ sind.
 
[[File:Kegelschnitt.png|thumb|400 px|Fig. 69-1 (Schnitt parallel zur GundflächeGrundfläche: Kreis; Schnitt schräg zur GundflächeGrundfläche: Ellipse; Schnitt parallel zur Gegenseite: Parabel; Schnitt parallel zur Achse: gleichseitige Hyperbel]]
 
[[File:Conic Sections.svg|thumb|200 px|Fig. 69-2]]
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