Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 081c»

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:Mathematik von A bis Z (Teil 18)
Línea 13:
:Wir hätten eine diophantische Gleichung einfacher Art, etwa
:<math> 3x-y=(-5) </math>.
:Lösen wir diese Gleichung zur Erzielung ganzzaliligerganzzahliger Werte nach der Eulerschen Methode, dann erhalten wir
:<math> \textstyle x = \frac{y-5}{3} </math> und <math> \textstyle \frac{y-5}{3} = n </math>, also <math> x=n</math>.
:Und weiters für ''y'' die Lösung <math> 3n+5 </math>. Nun setzen wir in das ''n'' die Zahlen von 1 bis zu einer beliebigen Größe ein:
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:usw.
:Wie man sieht, sind von n=(—2) alle Wertepaare für beide Unbekannten negativ, da ja das x=n und daher das ''x'' negativ sein muß, wenn ''n'' negativ angenommen wird. Aber auch ''y'' muß stets negativ bleiben, wenn ''n'' ganzzahlig kleiner wird als (-1). Denn die entgegenwirkende Pluskonstante in y=3n+5 ist 5 und wird bereits von 3•(-2) nach der negativen Seite in y=(-6)+5 hinübergeschoben. Um so mehr natürlich bei n=(-3), also y=(-9)+5 usf.
:Wir haben also bereits eine doppelte Unendlichkeit von möglichen Lösungen, nämlich eine Unendlichkeit von ganzzahligen positiven und von ganzzaldigenganzzahligen negativen Wertepaaren. Zu dieser doppelten Unendlichkeit kommt als Spezialfall, als Kuriosum das Wertepaar für <math> n=-1 </math>, bei dem <math> x=-1 </math> und <math> y=+2 </math>, außerdem das Paar für <math> n=0 </math>, bei dem <math> </math>x=0 und <math> </math>y=5 wird. Es gibt also <math> (2 \times \infty) + 2 </math> ganzzahlige Lösungen.
:Nun wollen wir unsere diophantische Gleichung ein wenig umformen, ohne sie weiter zu verändern. Wir schreiben nämlich statt <math> 3x-y=-5 </math> die Form
:<math> y=3x+5 </math>
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:Natürlich können sich, wie bei <math> \textstyle x = \frac{1}{3} </math>, für ''y'' auch ganzzahlige Werte ergeben. Jedenfalls werden aber die Fälle weitaus überwiegen, in denen bei ''x'' als Bruch auch ''y'' ein Bruch wird. Für unsere nicht mehr diopliantische (das heißt nicht mehr für ''x'' und ''y'' ganzzahlig gelöste) unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten haben wir jetzt wieder unendlich viele Lösungen in Form von Brüchen. Wie „mächtig“ aber diese neue Unendlichkeit ist, geht daraus hervor, daß man schon zwischen 0 und 1 dem ''x'' unendlich viele Werte erteilen kann. Ebenso zwischen 1 und 2, zwischen 2 und 3, usw. Dazu kommen außerdem noch alle Möglichkeiten, in denen wir das ''x'' als negativen Bruch fordern, etwa <math> \textstyle x = - \frac{10}{3} </math> usw. Hier stehen wir, wenn wir genau zusehen, vor folgenden unendlichen Mengen von Lösungen: Alle positiven Brüche für ''y'' ergeben vorwiegend Brüche, und zwar positive für ''y''. Setzt man <math> x=0 </math>, das ich als den Bruch „Null durch irgendeine Zahl“ betrachten könnte, dann wird <math> y=5 </math>. Setze ich negative Brüche für ''x'', dann ergeben alle, ebenfalls unendlich vielen Brüche von <math> \textstyle - \frac{1}{\infty} </math> bis zum Wert <math> \textstyle x = - \frac{5}{3} </math> für ''y'' noch positive Werte. Bei <math> \textstyle x = - \frac{5}{3} </math> wird <math> y=0 </math>. Bei allen Brüchen, die kleiner (das heißt weiter nach links auf der negativen Zahlenlinie!) sind als <math> \textstyle - \frac{5}{3} </math>, also etwa <math> \textstyle - \frac{6}{3} </math>, wird auch das ''y'' negativ.
:Auf jeden Fall haben wir für unsere unbestimmte Gleichung schon eine doppelte Unendlichkeit von ganzzahligen und eine vielfache Unendlichkeit von gebrochenen Lösungen. Dazu noch den Spezialfall <math> \textstyle x = - \frac{5}{3} </math>
:Nun könnten wir aber auf Grund unseres erweiterten Zahlbegriffs noch auf den Gedanken verfallen, zwischen je zwei Brüchen für das ''x'' eine oder alle der unendlich vielen Irrationalzahlen einzusetzen. Etwa eine <math> \sqrt[4]{25} </math> o.&nbsp;dgl. Daß dadurch auch das ''y'' zur Irrationalzahl1)Irrationalzahl wird, ist einleuchtend.
::(<small>Mathematisch korrekt heißt eine Zahl, die aus rationalen und irrationalen Teilen besteht, wie etwa in unserem Fall <math> y = 3 \cdot \sqrt[4]{25} + 5 </math>, eine „surdische Zahl“. </small>)
:Hätten wir nämlich die Irrationalzahl ''x'' durch einen unendlichen Dezimalbruch dargestellt und addieren dazu die Konstante, dann besteht eben das ''y'' aus einer Summe von einem unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch und einer Konstanten. Aus dieser Summierung aber resultiert wieder eine Irrationalzahl.
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:Nun können wir unsere Maschine für unsere Zwecke bereits in Gebrauch nehmen. Und zwar wollen wir uns die Angelegenheit in der Art einer Bedienungsanweisung verdeutlichen: Setzen wir voraus, daß wir einen Kasten mit verschiedensten Laufgewichten besitzen, dann entnehmen wir ihm zuerst für unsere Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>
:ein schönes Kilogrammgewicht und schieben es auf die untere, mit der Bezeichnung „Konstante“ versehene Schiene so weit, daß die MittelpunktsmarkcMittelpunktsmarke des Laufgewichtes mit der Ziffer fünf auf der Schiene übereinstimmt. Das Laufgewicht hat zu diesem Zweck ein „Fenster“. Man kann solche Gewichte an jeder Apotheker-Dezimalwaage sehen. Da es sich um eine Konstante, um eine unveränderliche Größe handelt, klemme ich das Laufgewicht für alle folgenden Fälle fest. Natürlich nur für solange, als ich die Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>
:betrachte, in der die Konstante eben 5 ist. Im Gesamtsystem unserer Maschine muß jetzt unser Kilogramm einen Zug nach unten ausüben, der fünfmal größer ist, als wenn ich das Laufgewicht bei der Marke 1 geklemmt hätte. Und wenn ich nichts anderes einstellen würde, müßte jetzt der Zeiger steigen und auf die Marke 5 auf dem Kreisbogen zeigen. Denn wir setzen voraus, daß die Spiralfedern in dieser Art berechnet sind. Nun soll ich das „x“ einstellen. Da es nicht als ''x'' schlechtweg, sondern als ''x'' mit dem Koeffizienten 3 auftritt, wähle ich ein Laufgewicht von 3 Kilogramm, da uns ein Kilogramm die konkrete Zahl 1 versinnbildlicht. Wo aber soll ich das Laufgewicht hinschieben? Ich bin in Verlegenheit und muß eine mathematische UberlegungÜUberlegung anstellen. Und diese Überlegung sagt mir sofort, daß ich ja in das ''x'' einsetzen, also das ''x'' erst wählen soll. Daher nehme ich mir vor, das ''x'' zuerst so zu wählen, daß sich die „Waage“ im Gleichgewichtszustand befindet, daß also, was man ohne weiteres sieht, der Zeiger auf Null für ''y'' zeigt. Wenn ich nun, ohne zu rechnen, bloß probiere, werde ich bemerken, daß ich dieses gewünschte Ergebnis erziele, wenn das 3-kg-Laufgewicht genau bei der Marke <math> \textstyle - \frac{5}{3} </math> oder <math> -1 \textstyle \frac{2}{3} </math> der oberen Laufschiene angelangt ist. Dort ergibt sich nämlich die Gewichtsbelastung des linken Waagearmes (den wir den negativen nennen wollen) mit 3 kg in der Entfernung <math> \textstyle (- \frac{5}{3}) </math> und die des rechten (positiven) mit 1 kg in der Entfernung (+5). Da sich aber weiters nach den Gesetzen der Mechanik die jeweilige Belastung als Produkt des Gewichtes mit der Entfernung vom Drehpunkt des Waagebalkens darstellt, so ist in einem Falle die Belastung <math> \textstyle 3 \cdot (- \frac{5}{3} ) = - 5 </math> und im zweiten Falle <math> 1 \cdot 5 = 5 </math>, also dem absoluten Wert nach gleich. Da sich aber auf einer in unserer Weise positiv und negativ bezifferten Waage ein Gleichgewicht nur ergeben kann, wenn derselbe absolute Wert sowohl negativ als positiv auftritt, bedeutet unser Ergebnis die gleichsam optische Bestätigung der Tatsache, daß ich in der Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>
:das ''x'' als <math> \textstyle (- \frac {5}{3}) </math> wählen muß, um für das ''y'' die Null zu erhalten. Daß die Konstante nicht weiter berührt werden darf, haben wir schon gefordert. Wir könnten sie aber trotzdem auf unserer Maschine auch in anderer, und zwar noch eleganterer Art einstellen. Wenn wir uns nämlich überlegen, daß man die Gleichung <math> y=3x+5 </math> auch in der Form
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:schreiben dürfte, da bekanntlich jede Nullpotenz 1 liefert und dadurch an der Gleichung nichts ändert, könnten wir die obere Schiene mit <math> x^1 </math> und die untere mit <math> x^0 </math> bezeichnen und die 5 als Koeffizienten von <math> x^0 </math> betrachten. Dann aber dürften wir ein 5-kg-Gewicht wählen und es bei der Marke 1 der unteren Laufschiene festklemmen, wo es stehen bleiben kann, da <math> x^0 </math> für jeden Wert von ''x'' eins geben muß, <math> 5x^0 </math> also in jeder möglichen Form der Gleichung 5 kg mal Entfernung 1, also 5 liefert. Dies jedoch vorläufig nur nebenbei. Wir werden noch einmal darauf zurückkommen.
:Wir begnügen uns mit der ersten Version, daß wir unsere „Konstante“ als 1-kg-Laufgewicht bei der Marke 5 der unteren Laufschiene festgeklemmt haben. Und fügen bei, daß wir uns um diese „Konstante“ nicht weiter kümmern werden, da sie für unsere spezielle Gleichung gleichsam zum fixen, stehenden, konstanten Bestandteil der Maschine geworden ist und selbsttätig ihren Einfluß geltend machen wird.
:Dagegen reizt es uns, mit dem zweiten Laufgewicht zu experimentieren. Da ja, wie wir gesehen haben, die Marke auf der Schiene direkt die Größe des jeweiligen ''x'' bedeutet, steht es uns frei, das Laufgewicht innerhalb des „Bereiches“ von -5 bis +5 an irgendeine beliebige, „willkürliche“ Stelle zu rücken, seinen Ort zu „verändern“. Ortsveränderung bedeutet aber nach dem Gesetz des Hebelarmes BelastungsverändcrungBelastungsveränderung, und Belastungsveränderung ist eine Größenveränderung. Machen wir ein Experiment. Rücken wir etwa das 3-kg-Laufgewicht auf die Marke
:<math> \textstyle x = 1 \frac{2}{5} = \frac{7}{5} </math>.
:Sofort beginnt der rechte Waagebalken zu sinken und der y-Zeiger auf der Skala zu spielen. Nach einigem Schwanken stellt er sich auf <math> \textstyle 9 \frac{1}{5} </math> ein. Nun ist aber für <math> \textstyle x = \frac{7}{5} </math> nach der Gleichung tatsächlich <math> \textstyle y = 9 \frac{1}{5} </math>, da
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