Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 082c»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
Línea 1:
:[[Curso de alemán nivel medio con audio|índice]]
:[[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 081c|Lección 081c]] ← Lección 082c → [[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 083c|Lección 083c]]
:Mathematik von A bis Z (Teil 19)
Línea 11:
:'''Pythagoräischer Lehrsatz'''
:---
:Zuerst wollen wir uns einmal in ferne Vorzeit zurückversetzen. Zu den alten Ägyptern und Indern. Noch heute bestaunt jeder Kenner der Baukunst die unwahrscheinliche Präzision, mit der speziell die Ägypter die Maße und Winkel ihrer Bauwerke ausführten. Es ist dies ein Verdienst der sogenannten Harpedonapten oder Seilspanner gewesen, die durch ihre geometrischen Kenntnisse die Bestimmung der Winkel, vornehmlich der rechten Winkel, ermöglichten. In welcher Art, werden wir sofort erfahren: Stellen wir uns etwa vor, es solle ein riesiger rechteckiger Tempel gebaut werden. Daß dabei schon kleine Abweichungen in der Genauigkeit der
[[File:Mathematik von A bis Z Fig 15.svg|thumb|600 px|Fig. 15]]
Línea 66:
:Nebenbei bemerkt, kann man zwei rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke zu einem Quadrat aneinanderfügen und ''c'' ist dann die sogenannte Diagonale des Quadrates. Daraus ergibt sich, daß die Diagonale des Quadrates zur Seite des Quadrates stets in einem nicht vollständig ausdrückbaren, irrationalen oder incommensurablen Verhältnis steht. Natürlich auch umgekehrt. Denn wähle ich für ''c'' eine ganze Zahl und will daraus ''a'' berechnen, so erhalte ich, da <math> 2a^2 = c^2 </math>, für <math> a^2 </math> den Wert <math> \textstyle \frac{c^2}{2} </math> oder für ''a'' den Wert <math> \textstyle \frac{c}{\sqrt2} </math>, was wir auch aus unserer ersten Lösung <math> c = a \sqrt2 </math> hätten entnehmen können.
:Irrationalität im geometrischen Sinn ist also nicht die Eigenschaft einer Größe, sondern ihr Verhältnis zu einer anderen, wenn es sich nur in Irrationalzahlen ausdrücken läßt. Und das eben heißt „Incommensurabilität“. Denn es steht mir ja frei, jede beliebige Größe, die ich mit einer anderen vergleichen will, als ganze Einheit oder als ganzes Vielfaches von Einheiten anzunehmen. Zum Überfluß: Wähle ich in unserem Quadrat a als Einheit, dann ist c irrational. Wähle ich dagegen c als Einheit, dann ist a irrational. Daher ist es auch grundfalsch zu sagen, der Kreisumfang sei irrational, da man nach der bekannten Formel <math> 2\pi r = </math> Umfang, wobei ''r'' der Radius (Halbmesser) des Kreises ist, eben den rationalen Halbmesser mit <math> 2\pi </math>, also einer Irrationalzahl multiplizieren muß. Wir sind es eben nur gewohnt, daß der Halbmesser gegeben ist. Würde ich aber umgekehrt etwa einen Stahlzylinder solange abdrehen, bis das feinste Präzisionsmeßband mir den Umfang 1 m anzeigte, dann erhielte ich als Radius (Halbmesser) aus der Gleichung: Umfang <math> = 2r \pi </math> für ''r'' den Wert <math> \textstyle \frac{\text{Umfang}}{2\pi} </math>, was bestimmt eine Irrationalzahl liefert. Einmal ist also der Umfang, das
:Pythagoras soll dieses Incommensurable, diese durch keine Regel oder durch kein faßbares Verhältnis ausdrückbare Beziehung in seiner Zahlenmystik als Sinnbild des Lebendigen, das ja stets auch jeder Meßbarkeit trotzt, bezeichnet haben. Wir wollen uns jedoch an dieser Stelle nicht in die Tiefen symbolischer Deutung unserer neuen geometrischen Kabbala verlieren, sondern eine echt kabbalistische Frage aufwerfen. Wir verlangen nämlich eine Regel, nach der wir alle möglichen ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecke erzeugen können. Also nicht nur etwa das ägyptische und das indische, sondern soviele als wir wollen.
:Wir entnehmen zu diesem Zweck, ohne auf die Ableitung einzugehen, der vorzüglichen Formelsammlung von Prof. 0. Th. Bürklen (neubearbeitet von Dr. F. Ringleb, Sammlung Göschen) eine Tabelle, die unsere Frage beantwortet. Sind nämlich ''u'' und ''v'' zwei beliebige ganze positive Zahlen, wobei <math> u > v </math>, so ergeben sich rationale rechtwinklige Dreiecke aus den Formeln <math> c=u^2+v^2 </math>, <math> a=u^2-v^2 </math>, <math> b=2uv </math>.
Línea 114:
:[[Curso de alemán nivel medio con audio|índice]]
:[[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 081c|Lección 081c]] ← Lección 082c → [[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 083c|Lección 083c]]
| |||