Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 244c»
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:Wie wir schon mehrmals betonten, ist „unendlich“ und „unbegrenzt“ etwas Verschiedenes. Eine Kreislinie oder Kugelfläche ist für die in ihr lebenden hypothetischen Wesen unbegrenzt aber durchaus« endlich. Denn wenn in der Kreislinie ein Punkt stehen bleibt und der andere stets „geradeaus“ wandert, steht er schließlich hinter dem wartenden Punkt. Ebenso ist es auf der Kugelfläche bei einer „Weltreise“.
:Im gekrümmten R<sub>3</sub> müßten ähnliche "Dinge möglich sein. Und man hat in der neuesten Physik und Astronomie schon ernstlich erwogen, ob nicht, unter der Voraussetzung eines gekrümmten Weltraumes, zwei auf entgegengesetzten Stellen des Himmels sichtbare Spiralnebel „in Wirklichkeit“ ein und derselbe Nebel sein könnten. Auf keinen Fall ist der Begriff eines gekrümmten Raumes R<sub>n</sub>, wobei <math>n > 2</math>, irgend etwas in sich Widerspruchsvolles. Bernhard Riemann hat in der schon mehrfach zitierten Habilitationsschrift vom Jahre 1854 „Die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“, im Anschluß an die Flächentheorie von Gauß, in aller Allgemeinheit die gekrümmten n-dimensionalen Räume erörtert. Und Frechet hat im Anschluß an die Integraltheorie von Lebesgue die Raumtheorie Riemanns sogar noch weiter Verallgemeinert, so daß vom Standpunkt der Mathematiker die ganze Angelegenheit durchaus weder mystisch noch unzugänglich ist.
:Da wir aber ohne höchste Differentialgeometrie diesen Problemen nicht an den Leib rücken können, wollen wir bloß anmerken, daß die g-Linien sich jeweils dem Charakter ihrer Raumform auch in höheren Dimensionen anpassen müssen. Im euklidischen R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub> ... R<sub>n</sub> hat die Gerade stets denselben Charakter. Sie ist eben eine euklidische Gerade. Dasselbe müssen wir von den anderen g-Linien voraussetzen, falls die betreffenden Bäume konstantes Krümmungsmaß haben. Bei nicht konstantem Krümmungsmaß ändert sich der Charakter der g-Linien von Ort zu Ort. Stets aber bleiben sie geodätische Linien oder kürzeste Verbindungen, da dies ja ihr Wesen ist.
:Es gibt also auch eine nichteuklidische Stereometrie des gekrümmten Raumes R<sub>3</sub> bis R<sub>n</sub>. Und es ist z. B. klar, daß reine Lagesätze, wie etwa der Satz von Euler,
::<small>Ecken plus Flächen ist gleich Kanten plus zwei.</small>
:zur absoluten Geometrie gehören, also unter gewissen Einschränkungen auch in den nichteuklidischen Geometrien gelten müssen. Nur alle Sätze, die mit dem Parallelenaxiom zusammenhängen, sind bloß der euklidischen Geometrie eigentümlich. Und auch die Maßbeziehungen sind in nichteuklidischen Geometrien andere wie in euklidischen, was man schon an der verschiedenen Winkelsumme des Dreiecks sehen kann. Ein wenig vereinfachend dürfen wir also behaupten, daß, unabhängig von der Dimension des Raumes, eine euklidische Geometrie stets dem euklidischen Parallelenpostulat folge, eine nichteuklidische dagegen nicht. Daß weiters die Winkelsumme im Dreieck <math display="inline">\sum = 180^\circ</math> in der euklidischen, <math display="inline">\sum < 180^\circ</math> in den Geometrien vom hyperbolischen oder pseudosphärischen Typus und <math display="inline">\sum > 180^\circ</math> in den Geometrien vom sphärischen oder elliptischen Typus sei. Sowohl bei <math display="inline">
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 433 picture cutout.jpg|thumb|300 px]]
:Zum Abschluß dieses Kapitels wollen wir noch einen besonders merkwürdig gekrümmten R<sub>2</sub>, nämlich das sogenannte Möbius'sche Blatt demonstrieren. Ein Modell davon kann sich jeder leicht aus einem Papierstreifen anfertigen. Man dreht den Streifen an einem Ende einfach um 180° herum und klebt die Enden in dieser Lage aneinander. Wenn man nun an irgendeiner Stelle eine zum Rand parallele g-Linie. zieht, erlebt man den Spuk, daß diese Linie wieder in sich zurückkehrt, also „unbegrenzt“ ist. Schneidet man jetzt das Blatt wieder auseinander, dann hat man mit einem einzigen Linienzug beide Seiten des Blattes (der Fläche) bezeichnet. Was in einem- solchen R<sub>2</sub> den armen Flächenwesen zustoßen würde, wollen wir zur Schonung der Nerven unserer Leser bloß andeuten. Bei einer „Weltumseglung“
::<small>Das Möbiusblatt gilt als „umsegelt“, wenn der Relsende den Ausgangspunkt auf der anderen Seite der Flache erreicht. Die Seite der Flache. ist ja für die Flächenwesen wegen der Dickelosigkeit der Flache gleichgültig.</small>
:würden sie nämlich buchstäblich und physisch in ihre Spiegelbilder überführt werden. Sie hätten also plötzlich ihr zweidimensionales Herz „am rechten Fleck“. Die zurückgebliebenen Angehörigen aber würden von den „Weltumseglern“ beim Wiedersehen für verkehrt angesehen werden und beide würden einander wechselseitig für wahnsinnig halten. In unserer Figur sehen wir, wie der „weiße Freund“ seinem zurückbleibenden „schwarzen Freund“ mit der rechten Hand einen Abschiedsgruß zuwinkt. Wie er dann nach seiner „Möbius'schen Weltreise“ nach Jahr und Tag zurückkehrt, begrüßt er den wartenden „schwarzen Freund“ nach seiner Ansicht mit derselben Hand. Der „schwarze Freund“ (und wir alle draußen im R<sub>3</sub>) halten diese Hand aber für die linke Hand, während der „weiße Freund“ uns und dem „schwarzen Freund“ beweisen will, daß wir plötzlich mit der ''Linken'' grüßen. Er hat den Ehering an derselben Hand behalten - der „schwarze Freund“ aber auch. Es ist einfach zum Tollwerden. Um uns wieder zu beruhigen, nennen wir solche Räume, wissenschaftlich korrekt, die „nichtorientierbaren“ Räume, wozu wir bemerken, daß sogar geschlossene nichtorientierbare dreidimensionale Riemann-Räume existieren, d. h. mathematisch konstruierbar sind, wobei die Bewegung nicht aus der dritten
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