Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 244c»

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:Nun könnten sie aber die furchtbarsten Überraschungen erleben. Und zwar sowohl vom Standpunkt der Dimension als vom Standpunkt der Krümmung. Sprechen wir zuerst von der in diesem R<sub>2</sub> schauerlichen, und okkulten „dritten Dimension“. Unsere Wesen hätten sich etwa einen „geschlossenen“ Behälter aus glasartigem Material hergestellt. Wie sieht der nun aus? Er ist wohl nichts anderes als irgendeine geometrische geschlossene ebene Figur, etwae in Kreis, ein Quadrat oder dergleichen. In das „Innere“ dieses Behälters können die Flächenwesen nur gelangen, wenn sie die Umgrenzungslinie an irgendeiner Stelle durchbrechen. Nun läge ein flächiges Partikelchen neben dem Behälter außerhalb der Umgrenzung. Und irgendeine Naturkraft, die gerade nur auf das Partikelchen wirkt, höbe es „magnetisch“ in die dritte Dimension heraus, wirbelte es herum und ließe es dann, womöglich umgeklappt, in das Innere des Behälters fallen. Durch die gläserne Linienwand würden unsere Flächenwesen mit (im zentrischen Büschel) gesträubten Haaren dieses Phänomen erblicken und hätten nicht einmal die Möglichkeit dieses, sagen wir Dreieckchen, wieder umzuklappen, wenn sie endlich die Glaswand durchbrechen und an das Wunder herangelangten.
:Uns dagegen erscheint der Vorgang höchst simpel. Ein Magnet hat dieses einzige Eisendreieckchen in dieser Welt aus seiner Fläche herausgerissen, es hat sich umgeklappt und ist dann in den Kreis- hineingefallen, den die Flächenwesen für unübersteigbar hielten. Gewiß, der Vergleich hinkt ein wenig. Denn ein dickeloses Plättchen kann ein Magnet nicht anziehen. Wir meinten das auch nur höchst ungefähr. Die Raumverhältnisse jedenfalls stimmen genau. Wir wollen deshalb das Bild für uns selbst erschreckend machen. Wir hätten uns eine große hohle Glaskugel hergestellt und hätten neben sie einen stählernen Ritterhandschuh auf den Boden gelegt. Nun verschwindet der Ritterhandschuh plötzlich spurlos und liegt nach einigen Sekunden mitten in der Kugel, wobei noch außerdem aus dem ursprünglich rechten plötzlich ein linker Handschuh geworden ist. Ich denke, dabei würden sich unsere Haare, diesmal im zentrischen Bündel, sträuben. Wir” stellen dazu fest, daß im R<sub>1</sub> schon ein Punkt unüberschreitbar ist und daß dort eine Strecke solch ein Behälter wäre. Die geschlossene Figur des R<sub>2</sub> ist jede von Linien umgrenzte Figur. Und im R<sub>3</sub> wird der geschlossene Körper von Flächen begrenzt. Wir schließen, daher analog, daß im R<sub>4</sub> ein „Behälter“ von lauter Körpern begrenzt werden müßte. Wir werden noch darauf zurückkommen.
:Eine andere lockende Dimensionsproblematik liegt darin, sich die Aufgabe zu stellen, irgendeinen R<sub>n</sub> so in zwei Gebiete zu zerlegen, daß man unmöglich von einem Punkt des einen Gebietes zu einem Punkt des anderen Gebietes gelangen kann, ohne das Trennungsgebilde zu durchbrechen. Im R<sub>1</sub> sperrt ein Punkt bereits die zwei Gebiete voneinander ab. Im R<sub>2</sub> müßte man eine unendliche Gerade ziehen, falls der R<sub>2</sub> euklidisch ist. Unter derselben Voraussetzung würde der R<sub>3</sub> durch eine unendliche Ebene in zwei getrennte Gebiete geteilt werden. Stets also erfolgt die Absperrung durch ein Gebilde von <math>(n -1)</math> Dimensionen. Nun können wir uns dabei auch mächtig täuschen. Wenn nämlich unser R<sub>1</sub> nicht eine Gerade, sondern ein Kreis gewesen wäre, dann läuft ein punktförmiges Wesen, das an den „Sperrpunkt“ anprallte, einfach nach der entgegengesetzten Richtung davon und erscheint plötzlich auf der anderen, angeblich unzugänglichen Seite des Sperrpunktes. Oder wir hätten in einem R<sub>2</sub>, der wie ein Autopneumatik geformt ist, streng nach der Vorschrift, die unbegrenzte Sperrlinie irgendwo senkrecht zur Ringachse, um den Pneumatik herumgeführt. Ein Flächenwesen kann dann auf die verschiedensten Arten, in Kreisen oder Spiralen, auf die andere Seite der Sperrlinie gelangen. Man nennt solche Bäume die „mehrfach zusammenhängenden Räume“ und es ist für sie charakteristisch, daß man diesen Zusammenhang aus der nächsthöheren Dimension, der Dimension <math>(n + 1)</math> sofort durchschauen kann. Einen mehrfach zusammenhängenden R<sub>3</sub> können wir uns nicht vorstellen, d. h. wir können nur behaupten, daß unsere Sperr-Fläche eigentlich eine Kugelfläche sein müßte, zumindest eine zusammenhängend gekrümmte Fläche, um die wir herumgehen könnten. Das ist aber nur höchst ungefähr. Denn wir könnten die wahre Sachlage erst vom R<sub>4</sub> aus durchschauen. Jedenfalls müßte hiezu der R<sub>3</sub> in einen R<sub>4</sub> eingebettet sein. Wie aber schon mehrfach erwähnt, haben wir vorläufig keinen unmittelbaren physikalischen Anlaß, den R<sub>4</sub> zu postulieren.
:Wie wir schon mehrmals betonten, ist „unendlich“ und „unbegrenzt“ etwas Verschiedenes. Eine Kreislinie oder Kugelfläche ist für die in ihr lebenden hypothetischen Wesen unbegrenzt aber durchaus« endlich. Denn wenn in der Kreislinie ein Punkt stehen bleibt und der andere stets „geradeaus“ wandert, steht er schließlich hinter dem wartenden`Punkt. Ebenso ist es auf der Kugelfläche bei einer „Weltreise“.
 
:Im gekrümmten R<sub>3</sub> müßten ähnliche "Dinge möglich sein. Und man hat in der neuesten Physik und Astronomie schon ernstlich erwogen, ob nicht, unter der Voraussetzung eines gekrümmten Weltraumes, zwei auf entgegengesetzten Stellen des Himmels sichtbare Spiralnebel „in Wirklichkeit“ ein und derselbe Nebel sein könnten. Auf keinen Fall ist der Begriff eines gekrümmten Raumes R<sub>n</sub>, wobei <math>n > 2</math>, irgend etwas in sich Widerspruchsvolles. Bernhard Riemann hat in der schon mehrfach zitierten Habilitationsschrift vom Jahre 1854 „Die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“, im Anschluß an die Flächentheorie von Gauß, in aller Allgemeinheit die gekrümmten n-dimensionalen Räume erörtert. Und Frechet hat im Anschluß an die Integraltheorie von Lebesgue die Raumtheorie Riemanns sogar noch weiter Verallgemeinert, so daß vom Standpunkt der Mathematiker die ganze Angelegenheit durchaus weder mystisch noch unzugänglich ist.